设 M 是 m 维完备流形, Bx(4ρ) 是一个与 ∂M 不相交的测地球, f 是 Bx(4ρ) 上的非负次调和函数. 若在 Bx(4ρ) 上 Ricci 曲率有下界 Rij≥−(m−1)R, 则存在常数 Cm 使得Bx(ρ)supf2≲(1+eCmρR)∫Bx(4ρ)f2.
证明. 令
h 是 Dirichlet 问题
{△h=0,h=f,Bx(2ρ)∂Bx(2ρ)的解, 最大模原理表明
f≤h. 由 Harnack 不等式,
Bx(ρ)supf2≤Bx(ρ)suph2≤eCmρR∫Bx(ρ)h2.h−f 在
∂Bx(2ρ) 上为
0, 由 Poincaré 不等式有
∫Bx(2ρ)(h−f)2≲ρ2eCm(1+ρR)∫Bx(2ρ)∣∇(h−f)∣2.故
∫Bx(ρ)h2≤2∫Bx(ρ)(h−f)2+2∫Bx(ρ)f2≲2ρ2eCm(1+ρR)∫Bx(2ρ)∣∇(h−f)∣2+2∫Bx(4ρ)f2≤4ρ2eCm(1+ρR)∫Bx(2ρ)∣∇h∣2+∣∇f∣2+2∫Bx(4ρ)f2.由调和函数的变分性质,
∫Bx(2ρ)∣∇h∣2≤∫Bx(2ρ)∣∇f∣2,又由 Cacciopolli 不等式,
∫Bx(2ρ)∣∇f∣2≲∫Bx(4ρ)f2,代入上面即得结论.
称流形 M 满足体积比较条件 Vμ 对 μ>1, 是说对任何 x∈M 与正实数 ρ1≤ρ2, 成立Vx(ρ2)≲Vx(ρ1)(ρ1ρ2)μ.
称流形 M 满足平均值不等式 M, 是说对任何 x∈M 与正实数 ρ, 成立f2(x)≲−∫Bx(ρ)f2.