预备 p 处的 ( r , s ) 型张量 是指多重线性函数θ : r 个 T p ∗ M × ⋯ × T p ∗ M × s 个 T p M × ⋯ × T p M → R . 其局部坐标下表示为θ = θ j 1 ⋯ j s i 1 ⋯ i r ∂ i 1 ⊗ ⋯ ⊗ ∂ i r ⊗ d x j 1 ⊗ ⋯ ⊗ d x j s . ( r , 0 ) 型张量称为 r 阶逆变 张量, ( 0 , s ) 型张量称为 s 阶协变 张量.
s 阶反对称 协变张量 ω , 即 s 阶外形式, 为符合ω ( X π ( 1 ) , ⋯ , X π ( s ) ) = ( − 1 ) π ω ( X 1 , ⋯ , X s ) 的 s 阶协变张量, 其全体记为 ⋀ s T p ∗ M .
对于 α ∈ ⋀ r T p ∗ M , β ∈ ⋀ s T p ∗ M , 定义其外积 α ∧ β ∈ ⋀ r + s T p ∗ M 为α ∧ β ( X 1 , ⋯ , X r + s ) = r ! s ! 1 π ∑ ( − 1 ) π α ( X π ( 1 ) , ⋯ , X π ( r ) ) β ( X π ( r + 1 ) , ⋯ , X π ( r + s ) ) . [比如 r = s = 1 时, α ∧ β ( X , Y ) = α ( X ) β ( Y ) − α ( Y ) β ( X ) .]
由此, α ∧ β = ( − 1 ) rs β ∧ α , dim ⋀ s T p ∗ M = ( s n ) .
s 次微分形式 即是 ⋀ s T ∗ M 的光滑截面, 其全体记为 Ω s ( M ) . 定义 ω ∈ Ω s ( M ) 的外微分 d ω 为d ω ( X 1 , ⋯ , X s + 1 ) = i = 1 ∑ s + 1 ( − 1 ) i − 1 X i ω ( ⋯ , X i , ⋯ ) + i < j ∑ ( − 1 ) i + j ω ([ X i , X j ] , ⋯ , X i , ⋯ , X j , ⋯ ) . [比如 s = 1 时, d ω ( X , Y ) = X ω ( Y ) − Yω ( X ) − ω ([ X , Y ]) .]
于是可以验证d ( f ω ) d ( ω ∧ η ) = df ∧ ω + fd ω , = d ω ∧ η + ( − 1 ) r ω ∧ d η .
Lie 导数 是指, 对 ω ∈ Ω s ( M ) , 设 X 生成的单参数变换群为 { ϕ t } , 令 L X ( ω ) ∈ Ω s ( M ) 为L X ( ω ) = d t d ∣ ∣ t = 0 ϕ t ∗ ω .
联络 微分流形 M 上的黎曼度量 是指每点 p ∈ M 的切空间 T p ( M ) 上给了系数 g ij 关于 p 可微的内积⟨ v i X i , w j X j ⟩ p = g ij ( p ) v i w j , 即d s 2 = g ij d x i ⊗ d x j . 由内积的对称性, g ij = g ji .
对于支集在局部坐标系 ( U , x ) 中的非负连续函数 f : M → R , 定义其积分为∫ M f = ∣ ∣ ∫ U f g d x ∣ ∣ , 这就是 R n 中的积分, g = det ( g ij ) 的引入确保了这个积分良定, 即不依赖于坐标卡的选取. 也就是说, 设 d s 2 = ∑ i = 1 n d y i ⊗ d y i , 那么积分就是 ∫ U fd y 1 ∧ ⋯ ∧ d y n . 对支集在 U 上但不一定非负的 f , 拆成 f = f + − f − 即可. 对于一般的 f , 利用单位分解不难给出 ∫ M f 的定义. 由 Riesz 表示定理, 存在唯一的 M 上的 Borel 测度 v 使得上述线性泛函是关于 v 积分.
微分流形 M 上的仿射联络 是指 ∇ : Γ ( M ) × Γ ( M ) → Γ ( M ) 满足 ∇ f X + g Y Z = f ∇ X Z + g ∇ Y Z , ∇ X ( Y + Z ) = ∇ X Y + ∇ Y Z , ∇ X ( f Y ) = f ∇ X Y + X ( f ) Y .
注意, 最后一条性质表明, 仿射联络全体并不是一个线性空间 (更不是一个 C ∞ ( M ) 模) , 但是对于 i = 1 ∑ ∞ f i = 1 , i = 1 ∑ ∞ f i λ i 是一个联络. 这说明微分流形上一定有联络, 因为在每个局部坐标系, 方向导数 ∇ X Y = ( ∂ X ∂ Y 1 , ⋯ , ∂ X ∂ Y n ) 就是该坐标系上的一个联络, 再利用单位分解即可.
那么就可以对向量场 V 在可微曲线 c 上求导得到另一向量场 d t D V , 称为 V 沿 c 的协变导数 : d t D ( V + W ) = d t D ( V ) + d t D ( W ) , d t D ( f V ) = d t df ( V ) + f d t D V , d t D ( V ( c ( t )) = ∇ d t d c V .
那么, 对于 c ( t ) = ( x 1 ( t ) , ⋯ , x n ( t )) 与 V = v j ( t ) X j ( c ( t )) , d t D V = = = d t d v j X j + v j d t D X j ( c ( t )) d t d v j X j + v j ∇ d t d c X j d t d v j X j + d t d x i v j ∇ X i X j .
向量场 V 是沿 c 的平行向量场 , 是指d t D V = 0.
引入 Christoffel 符号 ∇ X i X j = Γ ij k X k ,
那么 V 沿 c 的平行向量场等价于常微分方程组 0 = d t d v k + Γ ij k v j d t d x i , k = 1 , ⋯ , n , 因而存在且唯一.
黎曼流形 M 上的仿射联络 ∇ 称为与度量相容 , 是指若 P 和 P ′ 沿 c 平行则 ⟨ P , P ′ ⟩ 为常数, 这等价于 (设 V = v i P i , P 1 , ⋯ , P n 是一组沿 c 的正交基, 则 d t D V = d t d v i P i , 于是有) d t d ⟨ Y , Z ⟩ = ⟨ d t D Y , Z ⟩ + ⟨ Y , d t D Z ⟩ , 即 (令 d t d c = X ( c ( t )) 得) X ⟨ Y , Z ⟩ = ⟨ ∇ X Y , Z ⟩ + ⟨ Y , ∇ X Z ⟩ .
微分流形 M 上的仿射联络 ∇ 称为对称的 , 是指∇ X Y − ∇ Y X = [ X , Y ] . 这说明 ∇ X i X j = ∇ X j X i , 即 Γ ij k = Γ ji k .
黎曼流形 M 上存在唯一的对称且相容的仿射联络 ∇ , 称为 Levi-Civita 联络 , 计算得其表达式为⟨ ∇ X Y , Z ⟩ = 2 1 ( X ⟨ Y , Z ⟩ − Z ⟨ X , Y ⟩ + Y ⟨ Z , X ⟩ − ⟨ X , [ Y , Z ]⟩ − ⟨ Z , [ X , Y ]⟩ + ⟨ Y , [ Z , X ]⟩ ) .
称 γ 是一条测地线 , 若d t D ( d t d γ ) = 0.
由于 d t d ⟨ d t d γ , d t d γ ⟩ = 2 d t D ⟨ d t d γ , d t d γ ⟩ = 0 , 可以令 ∣ ∣ d t d γ ∣ ∣ ≡ 1 .
直接计算得 γ 是测地线等价于 0 = d t 2 d 2 v k + Γ ij k v j d t d x i d t d x j , k = 1 , ⋯ , n , 因而局部存在且局部唯一.
黎曼流形 M 的曲率 R 是指对每组 X , Y ∈ Γ ( M ) , 对应一个映射 R ( X , Y ) : Γ ( M ) → Γ ( M ) , R ( X , Y ) Z = ∇ Y ∇ X Z − ∇ X ∇ Y Z + ∇ [ X , Y ] Z . 不难验证这是一个 C ∞ ( M ) 线性映射. 直接计算得到 Bianchi 恒等式R ( X , Y ) Z + R ( Y , Z ) X + R ( Z , X ) Y = 0. 以下记 ⟨ R ( X , Y ) Z , T ⟩ = ( X , Y , Z , T ) .
对于 T p ( M ) 的二维子空间 σ , 定义其截面曲率 为K ( σ ) = ∣ x ∧ y ∣ 2 ( x , y , x , y ) , 其中 x , y ∈ σ , ∣ x ∧ y ∣ 2 = ∣ x ∣ 2 ∣ y ∣ 2 − ⟨ x , y ⟩ 2 . 不难验证它与 x , y 的选取无关.
对于 T p ( M ) 中的单位向量 x , 取 { x , z 1 , ⋯ , z n − 1 } 为一组正交基, 定义 x 方向的 Ricci 曲率 Ric p ( x ) = n − 1 1 i ∑ ⟨ R ( x , z i ) x , z i ⟩ , 以及数量曲率 K ( p ) = n 1 j ∑ Ric p ( z j ) . 注意到 ( n − 1 ) Ric p = tr ( R ( x , ⋅ ) y ) (该双线性映射的迹) := ⟨ K ( x ) , y ⟩ (诱导了线性算子 K ) , K ( p ) = n ( n − 1 ) 1 tr ( K ) , 因此 Ric p 和 K ( p ) 与 z 1 , ⋯ , z n − 1 的选取无关.
设 f : M → M 是浸入 (即 df 是单射) . 定义 f 在 p 点关于法向量 η 的第二基本形式 为I I η ( x ) = ⟨ B ( x , x ) , η ⟩ .
为了使⟨ X , ∇ f ⟩ = X ( f ) 仍成立, 即 g ij X i ( ∇ f ) j = X i f i , 定义 ∇ f 为∇ f = g ij ∂ i f ∂ j .
定义div X = g 1 ∂ j ( g Z j ) , 以及Δ f = − div ∇ f = − g 1 ∂ j ( g g ij ∂ i f ) .
这样定义的意义在于, 调和函数 , 即满足 Δ f = 0 的函数 f , 是能量 E ( f ) = ∫ M ∣∣∇ f ∣ ∣ 2 g d x = ∫ M g ij ∂ i f ∂ j f g d x 的临界点 , 即对任何 η 有d t d E ( f + t η ) ∣ t = 0 = 0.
事实上, 0 = = = = 2 1 d t d ∫ M g ij ( ∂ i f + t ∂ i η ) ( ∂ j f + t ∂ j η ) g d x ∣ ∣ t = 0 ∫ M g ij ∂ i f ∂ j η g d x − ∫ M ∂ j ( g ij ∂ i f g ) η d x ∫ M Δ f η g d x .