用户: Yao/Fourier 分析习题选解
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推广形式的 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式:
设 , 为两个测度空间, , 为 上的可测函数, 且存在 s.t.若 (, 则且 且 , s.t.
证明:
分解 , , , 其中 待定.
首先, 估计同理有于是由此得到其次, 估计得到现在使用 来估计 .
由 得到取 s.t. , 则由 得到 , 于是即
推广形式的 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式:
设 (X,μ), (Y,ν) 为两个测度空间, 1<q<∞, K(x,y) 为 X×Y 上的可测函数, 且存在 c>0 s.t.∣∣K(x,⋅)∣∣Lq,∞(Y,ν)≤c,a.e. x∈X,∣∣K(⋅,y)∣∣Lq,∞(X,μ)≤c,a.e. y∈Y.若 f∈Lp(Y,ν) (1≤p<+∞), 则Tf(x)=∫YK(x,y)f(y)dν(y)存在a.e. x∈X,且 1<p<∞ 且 1+r1=p1+q1, ∃ C(p,q,r,c) s.t.∣∣Tf∣∣Lr,∞(X,μ)≤C(p,q,r,c)∣∣f∣∣Lp(Y,ν),∀f∈Lp(Y,ν).
证明:
分解 K=K1+K2, K1=KχK>β, K2=KχK≤β, 其中 β>0 待定.
首先, 估计∣∣K1(x,⋅)∣∣L1(Y,ν)=∫β∞dK1(x,⋅)(α)dα≤∫β∞cqα−qdα=q−1cqβ1−q,同理有∣∣K1(⋅,y)∣∣L1(X,μ)≤q−1cqβ1−q,于是∫YK1(x,y)f(y)dν=∫YK1(x,y)p′1(K1(x,y)p1f(y))dν其中p1+p′1=1≤(∫YK1(x,y)dν)p′1(∫YK1(x,y)f(y)pdν)p1≤(q−1cqβ1−q)p′1(∫YK1(x,y)f(y)pdν)p1,由此得到∣∣∫YK1(x,y)f(y)dν∣∣Lp(X,μ)≤(q−1cqβ1−q)p′1(∫X∫YK1(x,y)f(y)pdνdμ)p1≤(q−1cqβ1−q)p′1(∫Y∫X(K1(x,y))dμf(y)pdν)p1≤q−1cqβ1−q∣∣f∣∣Lp(Y,ν)因p1+p′1=11◯.其次, 估计∣∣K2(x,⋅)∣∣Lp′(Y,ν)p′=p′∫0βαp′−1dK2(x,⋅)(α)dα≤p′∫0βαp′−1−qcqdα=p′−qp′cqβp′−q,得到∣∣∫YK1(x,y)f(y)dν∣∣L∞(X,μ)≤(p′−qp′cq)p′1βp′−q∣∣f∣∣Lp2◯.现在使用 1◯,2◯ 来估计 dα(Tf)r1.
由 Tf(x)=∫YK1(x,y)f(y)dν+∫YK2(x,y)f(y)dν 得到dα(Tf)≤dα/2(∫YK1(x,y)f(y)dν)+dα/2(∫YK2(x,y)f(y)dν).取 β s.t. (p′−qp′cqβp′−q∣∣f∣∣Lp)p′1∣∣f∣∣Lp=2α, 则由 2◯ 得到 dα/2(∫YK2(x,y)f(y)dν)=0, 于是dα(Tf)≤dα/2(∫YK1(x,y)f(y)dν)≤(2α)−p∣∣∫YK1(x,y)f(y)dν∣∣Lp(X,μ)p≤(2α)−p(q−1cqβ1−q)p∣∣f∣∣Lpp由1◯=C(p,p′,q,c)α−p(α∣∣f∣∣Lp−1)p−q(1−q)pp′∣∣f∣∣Lpp=C(p,p′,q,c)(α−1∣∣f∣∣Lp)r因−p+p−q(1−q)pp′=−r,即 ∣∣Tf∣∣Lr,∞(X,μ)≤C(p,q,r,c)∣∣f∣∣Lp(Y,ν).