用户: Yzhiyu 123/交换代数笔记

以下是我 2021 年秋季听交换代数课的笔记, 在此分类钞出以利温习. 间有证明不全者, 则参考诸书设法补全之.

1整性

命题 1.1. 令 $A\subset B$ 是整扩张, 则 $\dim A=\dim B$.

证明. 有待补上.

$\square$

例 1.2. $\dim k[x_1,\cdots ,x_n]=n.$

证明. 有长为 $n$ 的素理想链$$0⊊(x_1)⊊\cdots ⊊(x_1,\dots ,x_n)$$故 $\dim k[x_1,\dots ,x_n]\ge n$. 另一方面, 对 $n$ 归纳. 设 ${\mathfrak{p}}_0⊊{\mathfrak{p}}_1⊊\cdots ⊊{\mathfrak{p}}_r$ 是素理想的链, 并且已经饱和 (不能插入新的素理想). 这就要求 ${\mathfrak{p}}_0=(0)$. ${\mathfrak{p}}_1$ 中一定有不可约的多项式, 因为其是素理想. 设 $f(x)\in {\mathfrak{p}}_1$ 不可约, 且视作 $x_n$ 的多项式是首一的 (为什么能做到? ).

$k[x_1,\dots ,x_n]/(f)$ 在 $k[x_1,\dots ,x_{n-1}]$ 上是整扩张, 所以由归纳假设 $r\le n-1$.

$\square$