用户: Yzhiyu 123/常微分方程定性理论杂志

1圆映射与旋转数

在此我复述本科时听动力系统讨论班所记的一些内容.

问题: 如何分类 $S^1\to S^1$ 的保定向同胚?

定义 1.1 (旋转数). 对于单调增加的函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, 假设 $f$ 满足 $f(x+1)=f(x)$, 定义其旋转数为 $\rho (f)={\lim }_{n\to \infty }\frac{f^n(x)-x}{n}$.

命题 1.2. 旋转数存在, 并且与 $x$ 的选取无关.

证明. 首先, 这样的函数 $f$ 满足$$|(f(x)-x)-(f(y)-y)|\le 2,x,y\in \mathbb{R}.$$这是因为由周期性, 我们可假设 $x,y\in [0,1]$. 这样, 只要证明了旋转数的存在性, 就可以证明其不依赖于 $x$ 的选择.

然后, $f^n$ 同样满足命题中对 $f$ 提的条件.

我们定义 $a_n=f^n(x)-x$, 那么 $a_{n+m}=f^{n+m}(x)-x=f^{n+m}(x)-f^n(x)+f^n(x)-x$, 故可证明$$a_{n+m}-a_n-a_m\in [-2,2].$$由此可确信极限 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{n}$ 存在, 这相当于数学分析的一道习题.

pao 提供的证明.

pao 提供的证明. 我们证明如下命题: 如果 $a_{n+m}-a_n-a_m\ge C$, 那么 $a_n/n$ 收敛到 $\overline{\lim }{a}_n/n\in (-\infty ,+\infty ]$.

先证明 $\overline{\lim }{a}_n/n>-\infty .$] 因为 $a_{kn}\ge k{a}_n+(k-1)C$, 故 $a_{kn}/kn\ge a_n/n+O(1)$. 这意味着 $\overline{\lim }{a}_n/n>-\infty$.

对任意 $n$, $N>n$ 有 $N=kn+m$, $0\le m<n$, 那么 $a_N/N\ge a_n/n+a_m/N+C/n$ 对所有 $N>n$ 成立, 取下极限有 $\underline{\lim }{a}_N/N\ge a_n/n+C/n$. 这意味着 $\overline{\lim }{a}_n/n\le \underline{\lim }{a}_n/n$. 故极限存在.

$\square$

cyb 提供的证明[Chen].

cyb 提供的证明 [Chen]. 我们证明如下命题: 如果 $f:{\mathbb{R}}_{+}\to \mathbb{R}$ 满足 $\sup |f(x+y)-f(x)-f(y)|<M$, 那么存在 $A\in \mathbb{R}$ 使 $\sup |f(x)-Ax|<M$.

我们注意 $|f(2^{k}x)-2f(2^{k-1}x)|\le M$, 由此可得 $f(2^{k}x)/2^k$ 是 Cauchy 列. 故可定义 $g(x):={\lim }_{k\to \infty }f(2^{k}x)/2^k$. 我们还可以对这些估计式叠加知道 $|f(x)-g(x)|<M$ (!).

在 $|f(2^k(x+y)-f(2^{k}x)-f(2^{k}y)|\le M$ 中取极限可知 $g(x+y)=g(x)+g(y)$ (!!).

所以我们只要证明 $g(x)$ 满足某个使 Cauchy 函数方程的解是线性的条件即可. 在这里, 我们证明它 Lipschitz 连续. 为此, 只要对充分小的 $\delta$ 估计 $|g(\delta )|$.

设 $[0,1]$ 上 $|f(x)|\le R$, 则对 $x>0$ 用归纳法可证明 $|f(x)|\le (R+M)x$. 于是 $|f(2^k\delta )|\le (R+M)2^k\delta$. 故 $|g(\delta )|\le (R+M)\delta$, 得证.

$\square$

甘少波提供的证明.

甘少波提供的证明. 我们由 $a_n+a_m-C\le a_{n+m}\le a_n+a_m+C$, 可得估计$$I_{kn}:=[a_{kn}/kn-C/kn,a_{kn}/kn+C/kn]\subset [a_n/n-C/n,a_n/n+C/n]=:I_n.$$令 $J={\bigcap }_{n\ge 1}{I}_n$. 则 ${\bigcap }_{n\ge 1}{I}_{n!}\subset J$, 根据闭区间套定理 $J$ 非空, 根据 $m(I_n)\to 0$ 知 $J$ 是单点集 $\{\alpha \}$. 由 $\alpha \in I_n$ 知 $|a_n-n\alpha |\le C$.

我们还可以对 $n\to -\infty$ 做同样的事, 得到 $|a_{-n}+n\beta |\le C$. 再对 $|a_0-a_n-a_{-n}|\le C$ 取极限知 $\alpha =\beta$.

$\square$

模仿张芷芬 et al.[Zhang]书上的证明.

模仿张芷芬 et al.[Zhang] 书上的证明. 我们由$$|a_{kn}-k{a}_n|\le (k-1)C,$$把 $k$ 换成 $km$, 就有估计$$|a_{kmn}/kmn-a_n/n|<C/n,$$再交换 $m,n$ 的地位, 于是有估计$$|a_{kmn}/kmn-a_m/m|<C/m,$$所以 $|a_n/n-a_m/m|<C/m+C/n$, $\{a_n/n\}$ 是 Cauchy 列.

$\square$

$\square$

命题 1.3. 1. $\rho (f)$ 对 $f$ 是连续的; 2. 拓扑共轭不改变旋转数;

定理 1.4. $\rho (f)\in \mathbb{Q}$ 等价于 $f$ 存在周期点.

若 $\rho (f)\notin \mathbb{Q}$, 则有两种情况:

1. $\omega (x)=S^1$, 这时称 $f$ 是拓扑传递的 [笔者注: 有的书上说是各态经历/遍历 (ergodic) 的], 此时 $f$ 共轭于无理旋转 $R_{\rho }$;

2. $\omega (x)$ 闭, 无孤立点, 无处稠密, 完全 (perfect), 此时 $f$ 半共轭于无理旋转 $R_{\rho }$ (即可以通过一个满射共轭, 可要求其是单调函数). [笔者注: 有的书上说这种情形是例外 (exceptional) 的]

也可以讨论遍历性.

[Chen]	cyb 酱. 「请问这道数学分析题如何证明? 」的回答 [EB/OL]. (2020-04-14) [2022-08-19]. https://www.zhihu.com/question/387191900/answer/1153010779
[Zhang]	张芷芬, 丁同仁, 黄文灶, 董镇喜. 微分方程定性理论 [M]. 北京: 科学出版社, 1985.