用户: Yzhiyu 123/类域论复习

在本文档中我们复习一下类域论中的互反律和存在定理的证明. 用上同调方法证明类域论, 主要是建立起 $H^1,H^2$ 的性质.

1局部类域论

用 $K$ 表示 ${\mathbb{Q}}_p$ 的有限扩张, 则它是完备域. 用 $K^{\text{ab}}$ 表示 $K$ 的极大 Abel 扩张, $K^{\text{ur}}$ 表示极大不分歧扩张. $K$ 的不分歧扩张可以理解为 $K$ 的局部一致化元素 (uniformizer) 或称素元在其中仍是一个素元.

定理 1.1 (局部互反律). 存在如下局部 Artin 映射$$\rho :K^{\times }\to \mathrm{Gal}(K^{\text{ab}}/K)$$满足

1.	对 $K$ 的任一素元 $\varpi$ 和 $K$ 的任一有限不分歧扩张 $L$, 都有 $\rho (\varpi ){|}_L$ 是 $K$ 的 Frobenius 自同构;
2.	对于 $K$ 的任一有限 Abel 扩张, ${\mathrm{Nm}}_{L/K}(L^{\times })$ 含于 $\rho$ 的核中, 并且有同构$${\rho }_{L/K}:={\rho }_K{|}_{K^{\times }/{\mathrm{Nm}}_{L/K}}:K^{\times }/{\mathrm{Nm}}_{L/K}(L^{\times })\stackrel{\sim }{\to }\mathrm{Gal}(L/K).$$这个 $\rho$ 还是唯一的.

证明. 首先说明 $\rho$ 的定义.

对于有限 Galois 扩张 $L/K$, $H^2(\mathrm{Gal}(L/K),L^{\times })$ 是 $[L:K]$ 阶循环群. 固定它一个生成元 (基本类), 作上积可得同构$$\mathrm{Gal}(L/K{)}^{\text{ab}}\cong K^{\times }/{\mathrm{Nm}}_{L/K}(L^{\times }).$$

固定 Frobenius 元 ${\sigma }_K\in \mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$. 我们可以构造不变量映射$${\mathrm{inv}}_K:H^2(\mathrm{Gal}(\overline{K}/K),{\overline{K}}^{\times })\stackrel{\sim }{\to }\mathbb{Q}/\mathbb{Z},$$我们是先对不分歧扩张构造, 然后想办法把这结果用到一般的 Galois 扩张上去.

证明.

证明. ...

$\square$

由它限制 (?) 可得 $L/K$ 的不变量映射, 实现 $H^2(\mathrm{Gal}(L/K),L^{\times })$ 到 $\frac{1}{[L:K]}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ 的映射. 这样 ${\varphi }_{L/K}:={\mathrm{inv}}_{L/K}^{-1}(\frac{1}{[L:K]})$ 是基本类. ${\rho }_{L/K}$ 就这样定义: $K$ 自然地投射到 $K^{\times }/{\mathrm{Nm}}_{L/K}(L^{\times })$ 再和上面说的那个同构复合到 $\mathrm{Gal}(L/K{)}^{\text{ab}}$.

我们只要说明 ${\rho }_{L/K}$ 彼此能粘合成 $K^{\times }\to \mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$ 的映射, 也就是它们构成一个投射系统.

引理 1.2. 对于 Abel 扩张塔 $M/L/K$, 对于 $a\in K^{\times }$ 有 ${\rho }_{M/K}(a){|}_L={\rho }_{L/K}(a)$.

证明.

证明. 在所有 $\chi \in H^1(\mathrm{Gal}(L/K),\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ 处试验即可. 首先我们需要对有限 Galois 扩张有如下的式子: $${\mathrm{inv}}_{L/K}(\overline{\alpha }⌣\delta (\chi ))=\chi ({\rho }_{L/K}(\alpha ))$$证法是用上积对于 $\delta$ 的函子性质再加以适当的计算.

最后我们再配合提升 (inflation) 映射进行一些函子性的验证即可.

$\square$

接下来要对于不分歧扩张 $L/K$, ${\rho }_{L/K}(\varpi )=\sigma$. 这样已经证明了 1. 为此我们只要仔细地看一下不分歧的情况.

证明.

证明. ...

$\square$

2. 是由我们的构造得到的.

要建立唯一性, 我们用 Lubin-Tate 理论给出的互反映射.

引理 1.3. 对于 $a\in K^{\times }$, ${\rho }_{\text{LT}}(a)={\rho }_K(a){|}_{K_{\varpi }{K}^{\text{ur}}}$.

...

$\square$

定理 1.4 (存在定理). $K^{\times }$ 的所有范子群就是所有的有限指数开子群.

命题 1.5 (函子性). 设 $L/K$ 是有限扩张. 构造 $L^{\times }\to \mathrm{Gal}(L^{\text{ur}}/L)$, 把素元映为 ${\sigma }_L={\sigma }_K^{[k_L:k]}$ (为什么这就是分歧次数?). 那么,

•	$L^{\times }\to K^{\times }$ 的范映射对应到 Galois 群的限制,
•	$K^{\times }\to L^{\times }$ 的嵌入对应到 Galois 群的内迁映射 (Verlagerung),
•	$L^{\times }\to \alpha (L{)}^{\times }$ 对应到用 $\alpha$ 作共轭 $g\mapsto \alpha g{\alpha }^{-1}$.

图表追踪

2整体类域论

如今 $K$ 是 $\mathbb{Q}$ 的有限扩张. 我们记 $I_K$ 为 $K$ 的理元 (idèle) 群并令 ${\mathbb{C}}_K:=I_K/K^{\times }$, 称为理元类群.

定理 2.1 (整体互反律). 对于有限 Abel 扩张 $L/K$, 我们定义$${\Phi }_{L/K}:I_K\to \mathrm{Gal}(L/K):(a_v)\mapsto \prod {\rho }_{L_w|K_v}(a_v){|}_L$$在此, 我们对任一个素位 $v$ 固定一个 $w|v$, 当然需要证明 ${\Phi }_{L/K}$ 不依赖于 $w$ 的选择. 我们下面取投射极限以得到一个 $I_K\to \mathrm{Gal}(\overline{K}/K{)}^{\text{ab}}$ 的映射, 它分解通过 ${\mathbb{C}}_K$, 并且对任何有限 Abel 扩张 $L/K$, ${\Phi }_{L/K}$ 都是满射并且核为 $K^{\times }{\mathrm{Nm}}_{L/K}(I_L)$.

对于有限 Abel 扩张 $L/K$, 下为同构$${\Phi }_{L/K}:{\mathbb{C}}_K/{\mathrm{Nm}}_{L/K}({\mathbb{C}}_L)\stackrel{\sim }{\to }\mathrm{Gal}(L/K);$$

方法是构造类结构 (参见下节).

证明. 关于 ${\Phi }_{L/K}$ 不依赖于 $w$ 的选择. $D_w=\{\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)\mid \sigma w=w\}=\mathrm{Gal}(L_w/K_v)$ 为分解群. 实际上 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 在 $\{w|v\}$ 上有作用, 这作用可迁, $D_w$ 是其中一个 $w$ 的稳定化子, 记 $S_w$ 为轨道, $[L:K]=|D_w||S_w|$.

引理 2.2. $K_v^{\times }\to D_w\to \mathrm{Gal}(L/K)$ 不依赖于 $w$ 的选择.

证明.

证明. 在 $v$ 上所有的 $w^{\prime }$ 均是某个 $\sigma w$. $\sigma :L\to L$ 连续拓展为 $\sigma :L_w\to L_{\sigma w}$, 其固定 $K_v$. $D_{\sigma w}={}^{\sigma }D(w)=D(w)$ ($L/K$ 是 Abel 扩张). ...

$\square$

关于可以取投射极限, 即

引理 2.3. 对于 $M|L|K$ 有 ${\Phi }_{M/K}{|}_L={\Phi }_{L/K}$.

证明. 对于有限素位, 这是局部互反映射的性质. 对于无穷素位,

$\square$

关于分解通过 ${\mathbb{C}}_K$.

定理 2.4. ${\Phi }_K(K^{\times })=1$.

证明.

证明. 对任意 Abel 扩张 $L/K$ 证明 ${\Phi }_{L/K}(a)=1$ 或 $\chi ({\Phi }_{L/K}(a))=0$, 其中 $\chi$ 取遍 $\mathrm{hom}(\mathrm{Gal}(L/K),\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$.

然而$$\chi ({\Phi }_{L/K}(a))=\sum _v{\mathrm{inv}}_v(a⌣\delta (\chi ))=0$$

这是因为

1.

对于 $\alpha \in I_K$, $\overline{\alpha }$ 为其在 $H_T^0(\mathrm{Gal}(L/K),I_L)$ 中的象, $\chi \in \mathrm{hom}(\mathrm{Gal}(L/K),\mathbb{Q}/\mathbb{Z})=H^1$, $\delta :H^1\to H^2(\mathrm{Gal}(L/K),\mathbb{Z})$ 为对应于 $1\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\to 1$ 的边缘映射. ${\widetilde{\mathrm{inv}}}_{L/K}(\overline{\alpha }⌣\delta (\chi ))={\sum }_v{\mathrm{inv}}_v(\overline{\alpha }⌣\delta (\chi ))=\chi ({\Phi }_{L/K}(\alpha ))\in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. 证明. 证明. 图表追踪, 从整体域理元类群的同调群过渡到局部域上去, 我们证明 ${\mathrm{inv}}_v(\overline{\alpha }⌣\delta (\chi ))={\chi }_v({\rho }_{L_w/K_v}({\alpha }_v))$, 其中 ${\chi }_v=\mathrm{Res}(\chi )$, 并且我们用到了局部类域论中证过的性质. $\square$

2.

${\widetilde{\mathrm{inv}}}_K:={\sum }_v{\mathrm{inv}}_v$ 平凡. 证明. 证明. $\square$

$\square$

$\square$

TODO: 函子性…… 转移映射……

定理 2.5 (存在定理). ${\mathbb{C}}_K$ 的有限指数开子群的全体, 恰好是所有范子群 ${\mathrm{Nm}}_{L/K}({\mathbb{C}}_L)$ 的全体, 其中 $L$ 是 $K$ 的有限 Abel 扩张.

这是拓扑类结构的存在定理的推论.

3抽象类域论

类域论可以用类结构 (class formation) 的语言放入一个抽象的框架. 对于域 $K$ 定义

定义 3.1 (类结构 $(A,\mathrm{inv})$). 是为一个离散 $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$-模 $A$ 和一个不变映射 $\mathrm{inv}$, 且对于有限可分扩张 $L/K$,

1.	$H^1(\mathrm{Gal}(\overline{K}/L),A)=0$;
2.	不变量映射 ${\mathrm{inv}}_L:H^2(\mathrm{Gal}(\overline{K}/L),A)\stackrel{\sim }{\to }\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$;
3.	$\mathrm{in}{\mathrm{v}}_{\bullet }$ 把 $H^2(\mathrm{Gal}(\overline{K}/\bullet ),A)$ 间的 $\mathrm{Res}$ 映射对应为 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 间的乘以扩张次数, 即对有限可分扩张 $L/E/K$ 有 ${\mathrm{inv}}_L\circ {\mathrm{Res}}_{L/E}=[L:E]{\mathrm{inv}}_E$.

注 3.2. 注意我们定义类结构甚至用不到实际的域, 完全可以从一个抽象的投射有限群 $G$ 出发, 为其开子群 $G_E$ 各指定一个下标 $E$, 称 $E$ 为 $G_E$ 的不变子域等等, 而 $L|K$ 无非就是 $G_L◃G_E$. 而让 $K$ 就作为 $G$ 的不变子域, 即用 $G_K$ 表示 $G$.

记 $A_L=A^{\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)}$. 在子模 $A_L$ 间可以定义范映射 $\mathrm{Nm}$

定理 3.3 (类结构的互反律). 有一个互反映射 ${\rho }_K:A_K\to \mathrm{Gal}(\overline{K}/K{)}^{\text{ab}}$.

对于有限 Abel 扩张, 它诱导同构 $A_K/{\mathrm{Nm}}_{L/K}(A_L)\to \mathrm{Gal}(L/K{)}^{\text{ab}}$.

它满足一定的函子性 (参考局部互反映射的性质).

定义 3.4 (拓扑类结构). 如果 $A_L$ 均带有 Hausdorff 拓扑, 对于 $L/K$ 是 Galois 扩张, $A_L$ 均是拓扑 $\mathrm{Gal}(L/K)$-模, 而 $M/L/K$ 对应的 $A_L\subset A_M$ 拓扑相容, 且

1.	对有限可分扩张 $M/L/K$ 范映射 ${\mathrm{Nm}}_{M/L}:A_M\to A_L$ 具有闭象与紧核;
2.	对任意质数 $p$, 存在有限可分扩张 $K_p/K$, 使对任意有限可分扩张 $L/K_p$, $A_L$ 上乘 $p$ 映射具有紧核, 象包括 $D_L={\cap }_{M/L}{\mathrm{Nm}}_{M/L}(A_M)$.
3.	对任意有限可分扩张 $L/K$, 存在 $A_L$ 的紧子群 $U_L$, 使得 $A_L$ 中含 $U_L$ 的一切有限指数闭子群都是范群,

则说这类结构是拓扑类结构.

定理 3.5 (存在定理). 对于拓扑类结构 $(A,\mathrm{inv})$, $A_K$ 的所有有限指数闭子群正是所有范群.

推论 3.6. 对 $A_K$ 的所有有限指数开子群做完备化得 $\widehat{A_K}$, 则其通过互反映射与 $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K{)}^{\text{ab}}$ 同构.

4需要用到的群上同调的结果