用户: ZRJerry/Serre’s GAGA

Serre’s GAGA 意在阐释代数几何和复解析几何的相似性, 将拓扑空间的相似构造实现为凝聚层的对应. 合适的范畴是局部环化空间 $\mathcal{L}$ .

1复解析几何

基本的模型是: $X\subset U\subset {\mathbb{C}}^n$, $U$ 是开子集. $f_1,\cdots ,f_k\in {\mathcal{H}}_{{\mathbb{C}}^n}(U)$, 使得 $X={\cap }_{i=1}^{n}Z(f_k)$. 此时 $X$ 配备环层 ${\mathcal{H}}_X={\mathcal{H}}_U/(f_1,\cdots ,f_n)$, 这里 $(f_1,\cdots ,f_n)$ 为其生成理想层.

定义 1.1 (复解析空间). 局部环化空间 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 称为复解析空间, 若满足:

•	$X$ 是 Hausdorff 的.
•	$X$ 有开覆盖 $\{V_i\}$, 使每个 $(V_i,{\mathcal{O}}_{V_i})\simeq (B,{\mathcal{H}}_B)$. $(B,{\mathcal{H}}_B)$ 是一个上述基本模型.

对于解析空间, 我们常记其结构层为 ${\mathcal{H}}_X$, 称为解析函数层. 解析空间 $X,Y$ 在 $\mathcal{L}$ 内态射称为解析映射.

例 1.2.

${\mathbb{C}}^n$ 为解析空间, 并且熟知 ${\mathcal{H}}_{{\mathbb{C}}^n,0}$ 是 Noether 环.

${\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^r$ 为解析空间, 称为解析射影空间.

定义 1.3 (凝聚层). 局部环化空间 $X$ 上 ${\mathcal{O}}_X$ 模层 $\mathcal{F}$ 称为凝聚的, 若满足:

1.	$\mathcal{F}$ 局部有限型, 即每点附近有邻域, 存在正合列 ${\mathcal{O}}^n{|}_U\to \mathcal{F}{|}_U\to 0$
2.	每个开子集 $U\subset X$, 任意 $n$, 态射 ${\mathcal{O}}^n{|}_U\to \mathcal{F}{|}_U$ 之核为局部有限型

模层的有限型等性质应该都是局部定义的, 上文的 “局部有限型” 仅强调之, 后文同此.

在 ${\mathcal{O}}_X$ 自身凝聚时, 凝聚性简化为局部有限表现.

2解析化构造

解析化有两套招数, 一是直观地将代数簇局部解析化然后粘合, 另一种更具抽象风味.

解析化

仿射情形, 由于 ${\mathbb{C}}^n$ 上的多项式零点集自动是局部闭的, 并且多项式解析, 所以直接得到相应的解析空间. 一般地, 需要将代数簇 $X$ 上图表各自解析化, 然后验证相容. 此处还需要检验 Hausdorff.

对于 $\mathbb{C}$ 上局部有限型概形, 我们若舍弃解析空间的 Hausdorff 要求 (记此范畴为 $\mathcal{A}$) , 则有如下描述:

定理 2.1. $X$ 为 $\mathbb{C}$ 上局部有限型概形, 则函子 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{L}}(Y,X):\mathcal{A}\to \mathcal{S}et$ 可表, 代表元记为 $X^h$.

记 $id:X^h\to X^h$ 对应的态射为 $h:X^h\to X$, 则其诱导 $X^h\to X(\mathbb{C})$ 双射.

进一步, $x\in X(\mathbb{C})$ 处有局部环态射 $p:{\mathcal{O}}_{X,x}\to {\mathcal{H}}_{X,x}$, 并且完备化 $\hat{p}:{\hat{\mathcal{O}}}_{X,x}\to {\hat{\mathcal{H}}}_{X,x}$ 为同构.

证明. 思路是证明满足条件的概形对取开, 闭子概形, 以及乘积封闭. 再证明 $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathbb{C}[t]$ 的情形成立, 这样就证明了仿射概形成立.

一般时, 选取 $X$ 仿射覆盖 $U_i$, 为了粘合, 我们使用泛性质诱导 $(U_i\cap U_j{)}^h$ 到 $U_i^h$, $U_j^h$ 之映射, 粘合条件的满足都是泛性质的推导.

$\square$

仿射的情形看: 此时局部环完备化就都是 $\mathbb{C}[[x_1,\cdots ,x_r]]$

例 2.2. ${\mathbb{A}}^1$ 的解析化是 $\mathbb{C}$: 对于解析空间 $Y$, $$\begin{array}{rl}{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{L}}(Y,{\mathbb{A}}^1)& \simeq \mathrm{Hom}(\Gamma ({\mathbb{A}}_1,\mathcal{O}),\Gamma (Y,{\mathcal{O}}_Y))\\ & \simeq \mathrm{Hom}(\mathbb{C}[t],{\mathcal{O}}_Y(Y))\simeq {\mathcal{O}}_Y(Y)\end{array}$$因为截面的环同态诱导了局部环化空间同态 (Tag 01HX) . 而 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{A}}(Y,\mathbb{C})\simeq {\mathcal{O}}_Y(Y)$, 因为这就是全纯函数.

例 2.3 (${\mathbb{P}}^r$). 记代数的射影空间 $X={\mathbb{P}}^r$, 其解析化可以如下理解: 考虑 $D_{+}(x_j)$ : 这是仿射空间, 其解析化为 $({\mathbb{C}}^n,{\mathcal{H}}_{{\mathbb{C}}^n})$, 因为截面有环同态$$\Gamma (D_{+}(x_j),\mathcal{O}{|}_{D_{+}(x_j)})=\mathbb{C}[x_1/x_j,\cdots ,x_r/x_j]\to \Gamma ({\mathbb{C}}^n,\mathcal{H})$$

并且这就是仿射情形的解析化. 对比粘合映射, 知 $X^h={\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^r$ 为解析射影空间.

局部环还有更精细一点的性质, 这其实都包含在 2.1 的构造里.

定理 2.4. $\mathbb{C}$ 上局部有限型概形 $X$, 复值点 $x$

1.	闭子概形 $Y$ 对应理想层 $I$, $Y^h$ 对应 $I^h$, 那么有 $p(I_x)$ 生成 $I_x^h$
2.	${\mathcal{H}}_{X,x}$ 忠实平坦于 ${\mathcal{O}}_{X,x}$.

证明. 对于 2, 利用 Noether 局部环完备化忠实平坦, 结合完备化为同构即得.

$\square$

黑箱

我们陈述以下复分析事实.

定理 2.5 (Oka 凝聚定理). 解析空间 $X$ 结构层为凝聚层

代数簇 $X$ 上解析化的构造表明, $X^h$ 是局部紧的, 并且图表覆盖有限, 所以是第二可数的, 于是其为仿紧的 (见 Paracompact). 同时其为 Hausdorff, 这表明其上层的 Čech 上同调和导出函子上同调相同 (见 Cohomology) . 故后文我们将在二者中转换.

事实上, 本文里我们并不需要导出函子. Čech 上同调已经足够用了, 唯一需要注意的是归纳时, 我们用了 $j:Y\to X$ 为闭子集, 则 $H^i(Y,\mathcal{F})=H^i(X,j_{\ast }\mathcal{F})$ 对于 Čech 也成立.

定理 2.6. $\mathbb{C}$ 上 (抽象) 仿射代数簇 $X$, 其上凝聚层 $\mathcal{F}$ 的解析化 (见下) ${\mathcal{F}}^a$ 在 $X^h$ 上导出为零调.

利用此性质, 我们对 $X$ 选取的仿射覆盖 $\{U_i\}$ 可以用于计算 Čech 上同调, 这个覆盖解析化为 $\{U_i^h\}$ 仍然满足 Leray 定理条件, 于是可用于计算 Čech 上同调.

于是, 利用此覆盖下 Čech 的链描述, 我们可以给出 $H^i(X,\mathcal{F})\to H^i(X^h,{\mathcal{F}}^a)$, 进一步, 可以检验这对于 Čech 长正合列具有自然性.

定理 2.7 (有限性定理). ${\mathbb{P}}^r$ 上凝聚层 $\mathcal{F}$, 则任意 $i\ge 0$, $H^i({\mathbb{P}}^r,\mathcal{F})$ 是有限维 $\mathbb{C}$ 线性空间.

凝聚层解析化

解析化态射 $h:X^h\to X$, 诱导模层函子 $(-{)}^a=h^{\ast }:\mathsf{S}\mathsf{h}(X)\to \mathsf{S}\mathsf{h}(X^h)$, $\mathcal{F}\mapsto h^{-1}{\mathcal{F}}_{\otimes h^{-1}{\mathcal{O}}_X}{\mathcal{H}}_X$. 观察: 有自然的映射 $\mathcal{F}(U)\to {\mathcal{F}}^a(U^h)$.

定理 2.8. $X$ 为 $\mathbb{C}$ 上局部有限型概形, $\mathcal{F}$ 为其上层:

•	解析化函子正合.
•	$\mathcal{F}\to h_{\ast }(h^{\ast }\mathcal{F})$ 为单射.
•	若 $\mathcal{F}$ 凝聚, 则 ${\mathcal{F}}^a$ 为 $X^h$ 凝聚层.

证明. 利用原像函子和取茎交换, 以及利用 ${\mathcal{H}}_X$ 平坦性立得.

$\square$

定理 2.9 (解析化和闭子概形推出相容). $i:Y\to X$ 为闭子概形, 则 $i^h:Y^h\to X^h$ 也为闭浸入, 且 $Y$ 上凝聚层 $\mathcal{F}$ 有: $h_X^{\ast }(i_{\ast }\mathcal{F})\simeq i_{\ast }^h(h_Y^{\ast }\mathcal{F})$, $h$ 为对应解析化态射.

证明. 利用泛性质可得: 考虑 $Y$ 上层沿图表轨迹, 于是看出其支撑于 $Y^h$, 只用验证 $y\in Y$ 处的茎.

为了方便, 记 $X,Y,X^h,Y^h$ 结构层在 $y$ 处茎为 $A,B,A^{\prime },B^{\prime }$, 并令 $A=B/I$, 则 2.4 之 (1) 得到: $$A^{\prime }=B^{\prime }/I{B}^{\prime }=B^{\prime }{\otimes }_{B}B/I=B^{\prime }{\otimes }_{B}A$$所以设 $\mathcal{F}$ 茎为 $M$, 则只需验证: $$M{\otimes }_A{A}^{\prime }\simeq M{\otimes }_B{B}^{\prime }$$这从 $M{\otimes }_A{A}^{\prime }\simeq M{\otimes }_{A}A{\otimes }_B{B}^{\prime }\simeq M{\otimes }_B{B}^{\prime }$ 得.

$\square$

3凝聚层对应

${\mathbb{P}}^r$ 的对应

定理 3.1. $X={\mathbb{P}}^r$ 为 $\mathbb{C}$ 上射影空间. 解析化态射 $h:X^h\to X$, 诱导凝聚层函子 $(-{)}^a=h^{\ast }:\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{h}(X)\to \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{h}(X^h)$, 则

1.	$H^i(X,\mathcal{F})\simeq H^i(X^h,{\mathcal{F}}^a)$.
2.	$(-{)}^a$ 全忠实, 即 ${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}_X}(\mathcal{F},\mathcal{G})\simeq {\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{H}}_X}({\mathcal{F}}^a,{\mathcal{G}}^a)$
3.	$(-{)}^a$ 本质满, 即 $\mathcal{G}$ 为 $X^h$ 之凝聚层, 则有唯一 $\mathcal{F}$ 为 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{h}(X)$ 对象, 使 ${\mathcal{F}}^a=\mathcal{G}$

以上即说: $(-{)}^a$ 为范畴等价, 且诱导上同调同构.

我们层层递进证明之. 其中涉猎的技巧其实都已经在算 ${\mathbb{P}}^r$ 的一些上同调时体现.

1 的证明. 先将问题化归到对 $\mathcal{O}(n)$ 证明. 为了方便, 我们将 $(\mathcal{O}(n){)}^a$ 简记为 ${\mathcal{O}}^a(n)$ (注意: 我们还没有说明 $(O(1){)}^a\simeq \mathcal{H}(1)$) . 熟知任意 $\mathcal{F}$, 总有 $n,m\in \mathbb{Z}$, 使得 ${\mathcal{O}}^m\to \mathcal{F}(-n)$ 满, 于是由曲层为可逆层知 $\mathcal{O}(n{)}^m\to \mathcal{F}$ 满, 于是有凝聚层正合列$$0\to \mathcal{G}\to \mathcal{O}(n{)}^m\to \mathcal{F}\to 0$$对同调次数向下归纳: 利用导出和 Cech 等价及 2.6, 选取标准覆盖 $D_{+}(x_j)$ , 于是 $H^i(X,\mathcal{F})=H^i(X^h,{\mathcal{F}}^a)=0$, 若 $i>r$. 将上述正合列解析化, 再利用 Čech 上同调的长正合列 (记 $L=\mathcal{O}(n{)}^m$)

若视为导出函子, 长正合列交换性可以直接从泛上同调 $\delta$-函子的性质得出.

于是设 $i+1$ 成立, 则图表满足五引理的满射 (即 5 单) . 注意我们的归纳步骤是对 $i$, 于是此满射对 $\mathcal{G}$ 同样成立, 于是图表满足五引理的单射 (即 1 满) , 故 $i$ 时 $H^i(X,\mathcal{F})\simeq H^i(X^h,{\mathcal{F}}^a)$.

现在只用对 $\mathcal{O}(n)$ 证明之. $\mathcal{O}$ 的情形是经典的 (比如用 Čech 直接计算) . 我们对维数 $r$ 归纳证明此. 若设 $X=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}S$, $S=\mathbb{C}[x_1,\cdots ,x_r]$, 考虑 Serre 正合列 $0\to S(-1)\to S\to S/(x_r)\to 0$, 则有 $X$ 上层正合列$$0\to \mathcal{O}(-1)\to \mathcal{O}\to {\mathcal{O}}_E\to 0$$此处 $E\simeq \mathbb{C}[x_1,\cdots ,x_{r-1}]$ 为闭子概形, ${\mathcal{O}}_E$ 应当视为推出. 所以 $0\to \mathcal{O}(n-1)\to \mathcal{O}(n)\to {\mathcal{O}}_E(n)\to 0$. 由于 $H^i(X,{\mathcal{O}}_E(n))=H^i(E,{\mathcal{O}}_E(n))$, 于是可以使用归纳, 结合五引理即得.

实际上, 还需验证: $(i_{\ast }{\mathcal{O}}_E(n){)}^a=i_{\ast }^a({\mathcal{O}}_{E^a}^a(n))$ 才能归纳 (这里 $i:E\to X$) . 这一方面是曲层对闭子概形是一致的 $i_{\ast }{\mathcal{O}}_E\otimes \mathcal{O}(n)=i_{\ast }({\mathcal{O}}_E(n))$, 这直接来自其构造; 另一方面是解析化与闭子概形推出相容: $(i_{\ast }(L){)}^a=i_{\ast }^a(L^a)$.

$\square$

2 的证明. 借助 1, 我们构造 $\mathrm{Hom}$ 层 $\mathcal{H}om(\mathcal{F},\mathcal{G})$, 注意此无需层化, 所以若层同构, 施以截面就得到同构. 根据构造: $U\to {\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}_U}(\mathcal{F}{|}_U,\mathcal{G}{|}_U)$, 以及取开子概形与解析化相容, 故有自然态射: ${\mathcal{H}om}_{\mathcal{O}}(\mathcal{F},\mathcal{G}{)}^a\to {\mathcal{H}om}_{\mathcal{H}}({\mathcal{F}}^a,{\mathcal{G}}^a)$. 以下在茎处验证同构.

由凝聚性得 ${\mathcal{H}om}_{\mathcal{O}}(\mathcal{F},\mathcal{G}{)}_x\simeq {\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}_x}({\mathcal{F}}_x,{\mathcal{G}}_x)$. (比如, 因为局部有限表现, 所以利用此结论对自由情况成立即得) , 而对于张量积恒有 $({\mathcal{F}}^a{)}_x={\mathcal{F}}_x{\otimes }_{{\mathcal{O}}_x}{\mathcal{H}}_x$ (事实上, 一般原像均成立, 见 Tensor). 所以只需证明$${\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{O}}_x}({\mathcal{F}}_x,{\mathcal{G}}_x)\otimes {\mathcal{H}}_x\simeq {\mathrm{Hom}}_{{\mathcal{H}}_x}({\mathcal{F}}_x\otimes {\mathcal{H}}_x,{\mathcal{G}}_x\otimes {\mathcal{H}}_x)$$再由 $\mathcal{H}$ 平坦于 $\mathcal{O}$, 及 ${\mathcal{O}}_x$ 为 Noetherian, 这是熟知的同构.

$\square$

3 的证明. 唯一性来自 2. 以下只证 $\mathcal{F}$ 为 $X^h$ 凝聚层, 则有 $X$ 上凝聚层 ${\mathcal{G}}^a=\mathcal{F}$. 若我们可以对 $\mathcal{F}$ 进行 “曲层有限表现”: 即 ${\mathcal{O}}^a(n^{\prime }{)}^{m^{\prime }}\to {\mathcal{O}}^a(n{)}^m\to \mathcal{F}\to 0$ 正合, 则可以考虑代数层的余核 $\mathcal{O}(n^{\prime }{)}^{m^{\prime }}\to \mathcal{O}(n{)}^m\to \mathcal{G}\to 0$, 这里的态射利用 2 找到. 此解析化后仍正合, 则知 $\mathcal{F}={\mathcal{G}}^a$.

事实上, 我们可以证明更强的结论: $X^h$ 凝聚层都是 “曲” 有限生成的: 即有 ${\mathcal{O}}^a(n{)}^m\to \mathcal{F}\to 0$. 这并不令人惊讶, 因为在代数的情形此亦成立. 我们对 $r$ 归纳证明这个更强的结论. 注意, 根据上述论证, $r-1$ 时, 3 已经成立.

我们将层扭转回来, 记 $\mathcal{F}(n)=\mathcal{F}{\otimes }_{\mathcal{H}}{\mathcal{O}}^a(n)$. 若能证明下述引理, 则由凝聚性, 每点 $z$ 总有 $n_0$, 使得 $n>n_0$ 时有邻域 $U_n$, 使得 $\mathcal{F}(n)$ 每点 $y\in U_n$ 是整体生成的 (见 Tag 01B4). 进一步, 由于 $\mathcal{F}(n{)}_z$ 与 $\mathcal{F}(m{)}_z$ ($n>m$) 的相差的是一些多项式, 我们总可以多乘一些 $x_j$ 的多项式, 使得 $m$ 整体生成的地方 $n$ 也整体生成, 于是可以选上述邻域 $U$ 与 $n$ 无关. 最后, 再利用紧性, 总可以找到 $l$ 使得每一处都是整体生成的, 这就给出了正合列 ${\mathcal{O}}^m\to \mathcal{F}(l)\to 0$.

“$\mathcal{F}(n{)}_z$ 与 $\mathcal{F}(m{)}_z$ ($n>m$) 的相差的是一些多项式”, 其依据应当是 $\mathcal{O}(n{)}^a=\mathcal{H}(n)$, 即 $X^h$ 上的曲层. 我们前文没有说明此对应, 但是这不难根据线丛对应的上圈描述得出. “多乘一些 $x_j$ ” 应当理解为有一个层同态 $\mathcal{F}(n)\to \mathcal{F}(m)$ 在 $z$ 处是同构.

引理 3.2. 每个点 $z\in X^h$ 处, 有 $n_0$ , $n>n_0$ 时, $\mathcal{F}(n{)}_z$ 可由 $\Gamma (X^h,\mathcal{F}(n))$ 生成 (即在 $z$ 处整体生成) .

我们利用 Serre 正合列归纳, 取元素 $x_r\in H^0(X,\mathcal{O}(1))$ 于 $z$ 为 $0$, 则记 $i:E\to X$ 为其理想层对应闭子概形, 有解析化后, 张量 $\mathcal{F}$ 右正合, 用核延伸, 曲之得: $$0\to \mathcal{G}(n)\to \mathcal{F}(n-1)\to \mathcal{F}(n)\to {\mathcal{F}}_E(n)\to 0$$这里 ${\mathcal{F}}_E=i_{\ast }\mathcal{F}{|}_{E^h}$. 注意 ${\mathcal{F}}_E$ 是解析层. 由于解析化与闭子概形推出相容, 此记号合理. 对比茎我们知道 ${\mathcal{F}}_E$,$G$ 均支撑于 $E$, 于是其可以视为 $E$ 上层. 打散为短正合列 $0\to \mathcal{G}(n)\to \mathcal{F}(n-1)\to L$, 考虑长正合列: $$\begin{gathered} H^1(X^h,\mathcal{F}(n-1))\to H^1(X^h,L)\to H^2(X^h,\mathcal{G}(n)) \\ {H}^1(X^h,L)\to H^1(X^h,\mathcal{F}(n))\to H^1(X^h,{\mathcal{F}}_E(n)) \end{gathered}$$利用 1 以及归纳假设, ${\mathcal{F}}_E(n),\mathcal{G}(n)$ 均为代数层, 于是熟知总有 $n$ 充分大时代数层同调消没. 此时上述正合列尾均为 $0$, 所以由维数有限 (2.7 ) , $$\dim H^1(X^h,\mathcal{F}(n-1))\ge H^1(X^h,L)\ge H^1(X^h,\mathcal{F}(n))$$于是 $n$ 充分大总会稳定, 此时 $H^1(X^h,L)\simeq H^1(X^h,\mathcal{F}(n))$. 于是由长正合列 $H^0(X^h,\mathcal{F}(n))\to H^0(X^h,{\mathcal{F}}_E)\to 0$. 根据归纳, 已经有了 ${\mathcal{F}}_E$ 在 $z$ 处全局生成, Nakayama 引理推导说明 $\mathcal{F}$ 处亦:

考察 $\mathcal{F}$ 整体截面在 $M={\mathcal{F}}_z$ 生成的 ${\mathcal{H}}_z$ 模 $N$, $E^h$ 理想层为 $I$, 由于 ${\mathcal{F}}_E(n)=\mathcal{F}(n)\otimes \mathcal{H}/I$, 则 ${\mathcal{F}}_{E,z}=M\otimes H_z/I_z=M/I_{z}M$, 且 $N$ 在商映射的像为满, 即 $N+I_{z}M=M$, 于是 $N=M$.

$\square$

射影概形对应

将 3.1 的 $X={\mathbb{P}}^r$ 改为 $X$ 是 $\mathbb{C}$ 上射影的, 3.1 所有结论仍成立. 这由闭子概形推出和上同调, 解析化均交互良好立即得到.