算术–几何平均

注意区分本文与 “算术–几何平均值不等式”.

正实数 $x,y$ 的算术–几何平均, 记为 $\mathrm{agm}(x,y)$, 是一个介于其算术平均 $(x+y)/2$ 与几何平均 $\sqrt{xy}$ 之间的实数, 通过不断迭代地求算术平均与几何平均而得.

由于算术–几何平均与椭圆积分有密切联系, 且前者的数值计算收敛极快, 故常常通过算术–几何平均来数值计算椭圆积分.

1定义

设 $x,y$ 为正实数. 记 $g_0=\min \{x,y\}$, $a_0=\max \{x,y\}$. 对 $n=0,1,2,\dots$, 定义$$a_{n+1}=\frac{a_n+g_n}{2},g_{n+1}=\sqrt{a_n{g}_n}.$$则数列 $\{a_n\}$ 递减地收敛、数列 $\{g_n\}$ 递增地收敛于同一实数, 这就定义为 $x,y$ 的算术–几何平均, 记为 $\mathrm{agm}(x,y)$.

术语翻译

算术–几何平均 • 英文 arithmetic–geometric mean • 德文 arithmetisch-geometrisches Mittel (n) • 法文 moyenne arithmético-géométrique (f)