自由概率论

自由概率论是研究非交换随机变量的理论, 其中 “自由性” 是经典概率论中独立性的类比. 该理论于 1986 年左右由 Dan Voiculescu 建立.

1定义

定义 1.1. $(\mathcal{A},\phi )$ 称为非交换概率空间, 其中 $\mathcal{A}$ 是 $\mathbb{C}$ 上的含幺代数, $\phi :\mathcal{A}\to \mathbb{C}$ 是线性映射, 满足 $\phi (1_A)=1$.

习惯上, 我们称 $\mathcal{A}$ 中的元素为非交换随机变量. $\phi$ 称为 $\mathcal{A}$ 上的一个态, 是概率论中期望的类比. 不同于经典的概率论, 我们不关心随机变量给出的概率分布, 而关心随机变量的各阶矩的值.

例 1.2. 设 $(\Omega ,\mathcal{M},\mathbb{P})$ 是一个概率空间, 则 $N$ 阶随机矩阵的集合$$\mathcal{A}=\{A|A:\Omega \to M_N(\mathbb{C})\text{可测}\}$$配上态 $\phi =\mathbb{E}\circ \mathrm{tr}$ 即是一个非交换概率空间. 其中 $\mathrm{tr}=\mathrm{Tr}/N$ 是归一化的迹.

2自由独立性

3非交换随机变量的分布

4自由中心极限定律