讲义讨论: 数学分析/乘积级数与 Riemann zeta 函数, 振荡级数的收敛判断, 完备赋范线性空间

ζ(s) 的下界估计

下界估计的最后一个等于号应改为$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^{ks}}\times 2^{k-1}=\frac{1}{2^s}\frac{1}{1-\frac{1}{2^{s-1}}}$$

Euler 乘积公式与有限个素数

有关 7.3 证明后的公式:$$\zeta (s_{\ell })=\prod _{p\in \mathcal{P}}\frac{1}{1-p^{-s_{\ell }}}\stackrel{\ell \to \infty }{⟶}\prod _{p\in \mathcal{P}}\frac{1}{1-p^{-1}}=1.$$为什么 ${\prod }_{p\in \mathcal{P}}\frac{1}{1-p^{-1}}=1$ 在 $\mathcal{P}$ 为有限集的假设下会成立? 将此等式改为 ${\prod }_{p\in \mathcal{P}}\frac{1}{1-p^{-1}}<\infty$ 是否比较合理?

你说得对, 改一下吧.