讲义讨论: 集合论基础 (OperatorP)/常见的拓扑空间/Polish空间

定理 5.5.0.9 的证明里是不是有一个小问题

在 $C_{m,n}$ 的定义里不应要求 $f\in \mathcal{C}(X,Y)$, 否则后面的证明中需要的函数可能取不出来.
一个反例是$$Y=\{0\}\times \left[0,1\right]\cup \left\{a_{n,k}=\left(\frac{1}{n},\frac{k}{n}\right)\in {\mathbb{R}}^2|n,k\in {\mathbb{N}}_{>0},1\le k\le n\right\},X=\{0\}\times \left[0,1\right],$$所选择的 $Y$ 的可数稠密子集 $Q$ 是$$Q=\left\{a_{m,n}:n,k\in {\mathbb{N}}_{>0},1\le k\le n\right\}$$而要逼近的函数 $f$ 是从 $X$ 到 $Y$ 的子集 $\{0\}\times \left[0,1\right]$ 的恒等映射.

这样因为 $Q$ 的道路连通分支都是单点集, 故集合 $C_{m,n}$ 里的函数都是常值函数, 无法充分逼近 $f.$

应该在 $C_{m,n}$ 的定义里把 $f$ 的限制放宽为从所有 $X$ 到 $Y$ 的函数构成的集合 $Y^X$ 中选取. $Y^X$ 上也可以赋予一致 “度量”, 只不过 “度量” 的取值可以为无穷. 之后在构造可数集 $D_{m,n}$ 时, 需要把 $X$ 分割成若干个包含于 $B_{\frac{1}{m}}\left(X_m^i\right)$ 的子集的并, 并要求 $D_{m,n}$ 里的函数在每一个这样的子集上取常值.

这样子用原来的证明方式就可以证明 $\mathcal{C}(X,Y)$ 落在所有 $D_{m,n}$ 的并的闭包里. 作为一个度量空间中可分集合的子集, $\mathcal{C}(X,Y)$ 也因此是可分的.

感谢你的反例! 这段证明源自 GTM156 的定理 4.19, 看来 Kechris 不总是对的.