1. 奇异同调论
本章的目标是介绍任意一个拓扑空间的奇异同调理论. 在定义以及同伦不变性的证明之后, 我们陈述极其重要的计算工具 (定理 1.14) , 其证明留到附录 I, 这样阐述不会被其包含的构造打断. 注意 Mayer-Vietoris 序列是这个定理的直接推论, 它随后用于计算球面的同调群. 用这些结果, 能证明若干经典的定理: 圆盘不能收缩到其边界、Brouwer 不动点定理、偶数维球面上不存在向量场、Jordan-Brouwer 分离定理、以及关于区域不变性的 Brouwer 定理.
命题 1.0.1. 设 , 以下命题等价:
(a) 是线性无关的;
(b) 若 且 , 则 对 .
命题 1.0.2. 设单形 是 的凸包, 中的每个点能唯一地表示成 的形式, 其中各个 且 .
命题 1.0.3. 复合映射 在是零映射.
命题 1.0.4. 设 是非空道路连通空间, 有 .
引理 1.0.5. .
命题 1.0.6. 设空间 的道路连通分支为 , 有
定理 1.0.7. 设 是同胚, 对所有 , 是同构.
定理 1.0.8. 设 是 的一个凸子集, 有
命题 1.0.9. 设链映射 链同伦, 那么 的同态 .
定理 1.0.10. 设映射 同伦, 那么 的同态 .
命题 1.0.11. 设映射 是同伦等价, 那么 是同构.
推论 1.0.12. 设 是 的一个收缩, 那么 给出的同态 是到一个直和分量的单射. 设 是 的一个形变收缩, 那么 是同构.
定理 1.0.13. 设 是短正合列, 那么有长正合列
定理 1.0.14. 设 是 的一族子集, 是 的覆盖, 那么 是同构.
定理 1.0.15.
推论 1.0.16. 对 , 与 不同伦.
推论 1.0.17. 不能收缩成 .
推论 1.0.18 (Brouwer 不动点定理). 映射 存在不动点.
命题 1.0.19. 反射 的度 .
命题 1.0.20. 设映射 , 有 .
推论 1.0.21. 反射 的度 .
推论 1.0.22. 对径映射 的度 .
命题 1.0.23. 设映射 , 如果 对任何 , 那么 同伦于 .
推论 1.0.24. 设映射 , 存在 使 或 .
推论 1.0.25. 不存在映射 使 对任何 都正交.
推论 1.0.26. 上不存在非零向量场.
引理 1.0.27. 设 是 的所有紧集构成的族, 序关系为包含, 那么 及包含映射给出的同态构成了一个正向系统, 且 .
引理 1.0.28. 设 的子集 同胚于 , 那么
推论 1.0.29. 设 的子集 同胚于 , 那么
定理 1.0.30 (Jordan-Brouwer 分离定理). 嵌入 后把 分成了两个分支, 且它是这两个分支的边界.
定理 1.0.31. 设 是 的开集, 是同胚. 如果 是开集, 那么 也是开集.