4. 第二章: 横截性与相交 (正在翻译中)

第二章: 横截和相交

1. 带边流形

  就映射的导数而言, 前面表述过的所有概念能逐字逐句地照搬到带边流形上. 然而, 要寻求第一章的主要定理的推广, 我们必须对映射加上额外的限制. 我们要这样的条件, 它保证如果 $f:X\to Y$ 遇到 $Y$ 的子流形 $Z$, 那么 $f^{-1}(Z)$ 是一个带边流形. 我们也希望 $\partial f^{-1}(Z)=f^{-1}(Z)\cap \partial X$. 可惜的是, 仅有 $f$ 的横截性不保证这个. (例如, 令 $f:H^2\to \mathbb{R}$ 为映射 $(x_1,x_2)\to x_2$, 并令 $Z$ 为 $\{0\}$. 那么 $f^{-1}(Z)=\partial H^2$. ) 正确的条件发现是边缘上的横截性假设.

定理. 令 $f$ 是一个带边流形 $X$ 到无边流形 $Y$ 的光滑映射, 设 $f:X\to Y$ 和 $\partial f:\partial X\to Y$ 都横截于 $Y$ 的无边子流形 $Z$. 那么原象 $f^{-1}(Z)$ 是带边流形, 边界是$$\partial \{f^{-1}(Z)\}=f^{-1}(Z)\cap \partial X,$$且 $f^{-1}(Z)$ 在 $X$ 中的余维数等于 $Z$ 在 $Y$ 中的余维数.

引理. 设 $S$ 是无边流形并且 $\pi :S\to \mathbb{R}$ 是有正则值 $0$ 的光滑函数. 那么子集 $\{s\in S:\pi (s)\ge 0\}$ 是带边流形, 边界是 ${\pi }^{-1}(0)$.

证明. $\pi >0$ 的集合在 $S$ 中是开的于是为与 $S$ 同维数的子流形. 所以设 $\pi (s)=0$. 因为 $\pi$ 在 $s$ 正则, 它局部等价于 $s$ 附近的典范淹没. 而引理对典范淹没是显然的.

$\square$

Sard 定理. 对任意带边流形 $X$ 到无边流形 $Y$ 的光滑映射 $f$, $Y$ 的几乎所有点既是 $f:X\to Y$ 也是 $\partial f:\partial X\to Y$ 的正则值.

证明. 因为 $\partial f$ 在一点 $x\in \partial X$ 的导数就是 $d{f}_x$ 在子空间 $T_x(\partial X)\subset T_x(X)$ 的限制, 显然若 $\partial f$ 在 $x$ 正则, $f$ 亦然. 故一点 $y\in Y$ 不是 $f:X\to Y$ 和 $\partial f:\partial X\to Y$ 的正则值仅当它是 $f:\mathrm{Int}X\to Y$ 或 $\partial f:\partial X\to Y$ 的临界值. 而由于 $\mathrm{Int}X$ 和 $\partial X$ 都是无边流形, 两者的临界点集测度为零. 故 $f$ 和 $\partial f$ 的公共正则值, 为两个零测集的并, 本身测度为零.

$\square$

2. 一维流形和一些结果

一维流形的分类. 每个紧连通一维带边流形同胚于 $[0,1]$ 或 $S^1$.

推论. 任意紧一维带边流形的边界由偶数个点组成.

定理. $X$ 是带边紧流形, 那么不存在光滑映射 $g:X\to \partial X$ 使得 $\partial g:\partial X\to \partial X$ 是恒等映射. 就是, 不存在 $X$ 到其边界的 “收缩”.

证明. 设这样的 $g$ 存在, 令 $z\in \partial X$ 为其正则值. ($z$ 存在由 Sard. ) 那么 $g^{-1}(z)$ 是 $X$ 的带边子流形. 由于 $g^{-1}(z)$ 在 $X$ 的余维数等于 $z$ 在 $\partial X$ 的余维数, 即 $\dim X-1$, $g^{-1}(z)$ 是一维的、紧的. 可是因为 $\partial g=$ 恒等, $$\partial g^{-1}(z)=g^{-1}(z)\cap \partial X=\{z\},$$同推论矛盾.

$\square$

Brouwer 不动点定理. 任意闭单位球 $B^n$ 到自身的光滑映射必有不动点; 就是, $f(x)=x$ 对某个 $x\in B^n$.

证明. 设存在无不动点的 $f$, 下面构造收缩 $g:B^n\to \partial B^n$. 因为 $f(x)\ne x$, 两点 $x$ 和 $f(x)$ 确定一条线. 令 $g(x)$ 为从 $f(x)$ 到 $x$ 的线交于边界的点. 要是已经 $x\in \partial B^n$ 了, $g(x)=x$. 故 $g:B^n\to \partial B^n$ 在 $\partial B^n$ 上是恒等. 我们只需说明 $g$ 是光滑的来获得同收缩定理的矛盾从而完成证明. 记 $g(x)=tx+(1-t)f(x)$. 如果 $t$ 光滑地取决于 $x$, $g$ 就光滑. 两边作点乘, 因为 $|g(x)|=1$, 获得$$t^2|x-f(x){|}^2+2tf(x)\cdot [x-f(x)]+|f(x){|}^2-1=0.$$只需代入二次方程公式以得到 $t$ 的 $x$ 的光滑函数的表达式.

$\square$

3. 横截

  横截的关键是映射的族. 设 $f_s:X\to Y$ 是一族光滑映射, 指标是集合 $S$ 之中的参数 $s$. 考虑映射 $F:X\times S\to Y$ 定义为 $F(x,s)=f_s(x)$. 我们通过设 $S$ 是流形且 $F$ 光滑来要求这族光滑地变化. 核心的定理是

横截定理. 设 $F:X\times S\to Y$ 是流形的光滑映射, 其中只有 $X$ 有边界, 令 $Z$ 是 $Y$ 的无边子流形. 如果 $F$ 和 $\partial F$ 都横截于 $Z$, 那么对几乎所有 $s\in S$, $f_s$ 和 $\partial f_s$ 都横截于 $Z$.

证明.

$\square$

  横截定理易推出当像流形 $Y$ 是 ${\mathbb{R}}^M$ 时横截映射是普遍的. 设 $f:X\to {\mathbb{R}}^M$ 是任意光滑映射, 取 $S$ 为 ${\mathbb{R}}^M$ 的一个开球并定义 $F:X\times S\to {\mathbb{R}}^M$ 为 $F(x,s)=f(x)+s$. 对任意固定的 $x\in X$, $F(x,\cdot )$ 是球 $S$ 的平移, 显然是淹没. 所以, 当然, $F$ 是 $X\times S$ 的淹没因此横截于 ${\mathbb{R}}^M$ 的任何子流形 $Z$. 根据横截定理, 对几乎所有 $s\in S$, 映射 $f_s(x)=f(x)+s$ 横截于 $Z$. 故 $f$ 可以通过加一个任意小的量 $s$ 来形变为横截映射.

$\mathbf{ϵ}$-邻域定理. 对 ${\mathbb{R}}^M$ 中的紧无边流形 $Y$ 和正数 $ϵ$, 令 $Y^{ϵ}$ 为 ${\mathbb{R}}^M$ 中离 $Y$ 的距离小于 $ϵ$ 的开集. 若 $ϵ$ 充分小, 则每点 $w\in Y^{ϵ}$ 有 $Y$ 中唯一的最近的点, 记为 $\pi (w)$. 此外, 映射 $\pi :Y^{ϵ}\to Y$ 是淹没. 当 $Y$ 不是紧的, 依然存在淹没 $\pi :Y^{ϵ}\to Y$ 在 $Y$ 上是恒等, 不过现在必须允许 $ϵ$ 是 $Y$ 上的光滑正函数, $Y^{ϵ}$ 定义为 $\{w\in {\mathbb{R}}^M:|w-y|<ϵ(y)\text{ 对某 }y\in Y\}$.

推论. 设 $f:X\to Y$ 是光滑映射, $Y$ 是无边的. 存在某个欧氏空间中的开球 $S$ 和光滑映射 $F:X\times S\to Y$ 使得 $F(x,0)=f(x)$, 且对任意给定的 $x\in X$ 映射 $s\to F(x,s)$ 是淹没 $S\to Y$. 特别地, $F$ 和 $\partial F$ 都是淹没.

证明. 令 $S$ 是 $Y$ 的背景空间 ${\mathbb{R}}^M$ 的开球, 定义$$F(x,s)=\pi [f(x)+ϵ(f(x))s].$$由于 $\pi :Y^{ϵ}\to Y$ 限制在 $Y$ 上是恒等, $F(x,0)=f(x)$. 对固定的 $x$, $$s\mapsto f(x)+ϵ(f(x))s$$肯定是 $S\to Y^{ϵ}$ 的淹没. 由于两个淹没的复合是淹没, $s\mapsto F(x,s)$ 是淹没. $F$ 和 $\partial F$ 必定显然是淹没, 因为它们即使限制在子流形 $\{x\}\times Y$ 上时也是淹没, 这种流形经过 $X\times S$ 的每点和 $\partial X\times S$ 的每点.

$\square$

  横截是普遍的这一点能直接推出. 我们需要的形式是

横截同伦定理. 对任意光滑映射 $f:X\to Y$ 和无边流形 $Y$ 的任意无边子流形 $Z$, 存在光滑映射 $g:X\to Y$ 同伦于 $f$ 使得 $g⋔Z$ 且 $\partial g⋔Z$.

证明. 对于推论中的这族映射, 横截定理表明 $f_s⋔Z$ 且 $f_s⋔Z$ 对几乎所有 $s\in S$. 而每个 $f_s$ 都同伦于 $f$, 同伦 $X\times I\to Y$ 为 $(x,t)\mapsto F(x,ts)$.

$\square$

  为证明 $ϵ$-邻域定理, 我们引入一个类似于切丛的技巧. 对每个 $y\in Y$, 定义 $N_y(Y)$, $Y$ 在 $y$ 的法空间, 为 $T_y(Y)$ 在 ${\mathbb{R}}^M$ 中的正交补. 接下来定义法丛 $N(Y)$ 为集合$$\{(y,v)\in Y\times {\mathbb{R}}^M:v\in N_y(Y)\}.$$注意不像 $T(Y)$, $N(Y)$ 不内蕴于流形 $Y$ 而依赖 $Y$ 和周围的 ${\mathbb{R}}^M$ 的特定关系. 有自然的投影映射 $\sigma :N(Y)\to Y$ 定义为 $\sigma (y,v)=y$.

  为证明 $N(Y)$ 是流形, 我们得回忆一个线性代数中的基本事实. 设 $A:{\mathbb{R}}^M\to {\mathbb{R}}^k$ 是线性映射. 其转置是线性映射 $A^t:{\mathbb{R}}^k\to {\mathbb{R}}^M$ 由点乘的方程 $Av\cdot w=v\cdot A^{t}w$ 对所有 $v\in {\mathbb{R}}^M,w\in {\mathbb{R}}^k$ 描述. 注意如果 $A$ 是满的, 那么 $A^t$ 把 ${\mathbb{R}}^k$ 同构地映满 $A$ 的核的正交补. 因为若 $A^{t}w=0$, 则 $Av\cdot w=v\cdot A^{t}w=0$, 得 $w\perp A({\mathbb{R}}^M)$; 由于 $A$ 是满的, $w$ 一定是零故 $A^t$ 是单的. 类似地, 若 $Av=0$ 则 $0=Av\cdot w=v\cdot A^{t}w$, 所以 $A^t({\mathbb{R}}^k)\perp \mathrm{Kernel}(A)$. 故 $A^t$ 把 ${\mathbb{R}}^k$ 单一地映到 $\mathrm{Kernel}(A)$ 的正交补. 由于 $\mathrm{Kernel}(A)$ 有维数 $M-k$, 其补有维数 $k$, 所以 $A^t$ 也是满的.

命题. 若 $Y\subset {\mathbb{R}}^M$, 则 $N(Y)$ 是一个 $M$ 维流形且投影 $\sigma :N(Y)\to Y$ 是淹没.

证明. 局部上用方程定义 $Y$: 在任意 $Y$ 的给定的点周围, 找一个 ${\mathbb{R}}^M$ 的开集 $\tilde{U}$ 和淹没 $\varphi :\tilde{U}\to {\mathbb{R}}^k$ ($k=\mathrm{codim}Y$) 使得 $U=Y\cap \tilde{U}={\varphi }^{-1}(0)$. 集合 $N(U)$ 等于 $N(Y)\cap (U\times {\mathbb{R}}^M)$, 故在 $N(Y)$ 中是开的. 对每个 $y\in U$, $d{\varphi }_y:{\mathbb{R}}^M\to {\mathbb{R}}^k$ 是满的并有核 $T_y(Y)$. 于是它的转置把 ${\mathbb{R}}^k$ 同构地映满 $N_y(Y)$. 故映射 $\psi :U\times {\mathbb{R}}^k\to N(U)$, 定义为 $\psi (y,v)=(y,d{\varphi }_y^{t}v)$, 是双射, 并容易检验这是 $U\times {\mathbb{R}}^k$ 到 $U\times {\mathbb{R}}^M$ 的嵌入. 因此, $N(U)$ 是一个由 $\psi$ 参数化的流形, 维数 $=\dim U+k=\dim U+\mathrm{codim}U=M$. 由于 $N(Y)$ 的每点都有这样一个邻域, $N(Y)$ 是流形. 由于 $\sigma \circ \psi :U\times {\mathbb{R}}^k\to U$ 就是标准的淹没, $\sigma$ 是淹没.

$\square$

  我们将需要横截同伦定理的一个略强的形式. 我们称映射 $f:X\to Y$ 在 $X$ 的子集 $C$ 上横截于 $Z$, 如果横截性条件$$d{f}_x(X)+T_{f(x)}(X)=T_{f(x)}(Y)$$为每点 $x\in C\cap f^{-1}(Z)$ 满足.

扩张定理. 设 $Z$ 是 $Y$ 的一个闭子流形, 两者都无边, $C$ 是 $X$ 的闭子集. 令 $f:X\to Y$ 是使 $f⋔Z$ 在 $C$ 且 $\partial f⋔Z$ 在 $C\cap \partial X$ 的光滑映射. 那么存在光滑映射 $g:X\to Y$ 同伦于 $f$, 使得 $g⋔Z$, $\partial g⋔Z$, 并在 $C$ 的一个邻域上有 $g=f$.

引理. 若 $U$ 是 $X$ 中闭集 $C$ 的一个开邻域, 则存在光滑函数 $\gamma :X\to [0,1]$ 在 $U$ 外恒等于一而在 $C$ 的一个邻域上为零.

证明. 令 $C^{\prime }$ 为任何包含于 $U$ 且在内部包含 $C$ 的闭集, 并令 $\{{\theta }_i\}$ 是开覆盖 $\{U,X-C^{\prime }\}$ 的单位分解. (单位分解定理的证明当 $X$ 有边界时仍成立. ) 然后就取 $\gamma$ 为在 $X-C^{\prime }$ 外为零的那些 ${\theta }_i$ 的和.

$\square$

定理的证明.

$\square$

  由于 $\partial X$ 在 $Y$ 中总是闭的, 我们获得特殊情况

推论. 若, 对 $f:X\to Y$, 边界映射 $\partial f:\partial X\to Y$ 横截于 $Z$, 则存在映射 $g:X\to Y$ 同伦于 $f$ 使得 $\partial g=\partial f$ 且 $g⋔Z$.

  把注意力集中在边界上, 这个推论可以用另一种有用的形式阐述. 设 $h:\partial X\to Y$ 是横截于 $Z$ 的映射. 那么要是 $h$ 扩张为任何整个流形 $X\to Y$ 的映射, 它扩张为在整个 $X$ 上横截于 $Z$ 的映射.

16. 管状邻域定理. 证明存在一个从 $Z$ 在 $N(Z,Y)$ 的一个开邻域到 $Z$ 在 $Y$ 中一个开邻域的微分同胚. [提示: 令 $Y^{ϵ}\stackrel{\pi }{⟶}Y$ 同 $ϵ$-邻域定理. 考虑映射 $h:N(Z;Y)\to {\mathbb{R}}^M$, $h(z,v)=z+v$. 那么 $W=h^{-1}(Y^{ϵ})$ 是 $Z$ 在 $N(Z,Y)$ 的一个开邻域. 映射序列 $W\stackrel{h}{⟶}{Y}^{ϵ}\stackrel{\pi }{⟶}Y$ 是 $Z$ 上的恒等, 所以用第 1 章第 8 节练习 14. ]

4. 相交理论模 2

  上一节是技术性的并且相当困难. 我们现在希望使你相信功不唐捐. 本节中我们用横截性引理和第 3 节的其它结论来阐明流形的相交的一个简单的直觉的不变量, 从中我们能获得很多好的几何结果.

5. 环绕数和 Jordan–Brouwer 分离定理

  经典 Jordan 曲线定理说 ${\mathbb{R}}^2$ 的每条简单闭曲线分平面为两部分, 曲线的 “里面” 和 “外面”.

Jordan–Brouwer 分离定理. ${\mathbb{R}}^n$ 的紧连通超曲面 $X$ 的补集由两个连通开集构成, “里面”$D_0$ 和 “外面”$D_1$. 此外, ${\bar{D}}_1$ 是紧流形, 边界 $\partial {\bar{D}}_1=X$.

6.Borsuk–Ulam 定理

  下面用环绕数器械来证明另一个拓扑学的定理, Borsuk–Ulam 定理.

Borsuk–Ulam 定理.