前言

有限群的经典表示论初步

戚天成
复旦大学数学科学学院
2023 年 12 月 9 日

  在 2023 年秋季学期, 我担任复旦数院《现代代数学 II(H)》的课程助教, 课程内容主要由模论和有限群表示论构成. 趁此机会我将过去群表示论笔记中没有涉及到的内容和课程中部分优质习题以及一些新的体会与收获添加入这份笔记. 全文主要用结合代数观点简短有力地介绍有限群的经典表示论的基本概念和思想.

  有限群表示论起源于 1896 年 Richard Dedekind(德国, 1831-1916) 和 Ferdinand Georg Frobenius(德国, 1849-1917) 的通信中, 由后者系统发展. 再由 Frobenius 的学生 Issai Schur(1875-1941) 显著地改进与简化了该理论. 这份笔记的正文主要分为以下两部分:
(1) 介绍群的表示的基本概念及其基本例子, 我们指出群的表示本质上就是群代数上的模结构, 等价的群表示对应同构的群代数上的模. 第一部分的主定理是 Maschke 定理, 它表明当有限群的表示的基域特征不整除该群的阶时, 任何表示都是一些不可约表示的直和, 所以这时要研究群的表示, 只需搞清楚不可约表示以及不可约表示间的联系即可. 用模的语言来说, 当基域的特征不整除群的阶时, 群代数是 Artin 半单环, 其上任何非零模完全可约, 于是只需搞清楚群代数上的不可约模以及不可约模之间的同态即可.
(2) 介绍群表示的特征标的概念和基本性质, 特征标作为精巧的数值不变量, 它不仅易计算把握, 且承载了充分多的表示信息. 例如, 我们会说明复数域上任意两个有限维表示等价当且仅当它们特征标一致 (见 [推论 2.3.7]). 并且有限维复表示的不可约性可通过计算特征标复内积判别 (见 [推论 2.3.8]), 这与第一部分提到的研究群复表示的根本任务是研究不可约表示以及不可约表示间的联系呼应. 并且用特征标理论不仅可证明对任给阶为两个不同素数正整数幂乘积的群不是单群 (见 [推论 2.6.16]), 也可给出 Burnside 定理一个较为简单证明. 最后几节主要讨论诱导表示与限制表示的性质, 例如 Frobenius 互反律和 Mackey 不可约性判别准则.

  此外, 我在一些章节末尾添加了一些主要结论在具体例子或是某些场景上的应用. 由于水平有限, 虽然我全力以赴, 但还是无法避免笔记中存在不足与错误, 欢迎指出, 谢谢.