4. 几个应用

在这一节中, 我们首先介绍著名的 Poincaré–Hopf 定理, 然后介绍几个运用示性类解决问题的例子.

Poincaré–Hopf 定理

这一节的目标是证明 Poincaré–Hopf 定理, 它把向量场的零点和流形的拓扑联系起来. 这个结论的另一个形式是, 紧流形的切丛的 Euler 类就等于它的 Euler 示性数. 这也是 Euler 类命名的原因.

在本节中, 所有流形都默认是光滑的.

定理 4.1 (Poincaré–Hopf). 设系数环 $R$ 是域, 设 $M$ 是 $R$-已定向的紧、连通的流形. 则$$e(TM)=\chi (M)=[M\cap M{]}_{TM},$$其中 $\chi (M)$ 表示 $M$ 的 Euler 示性数 (这个整数看作 $M$ 的一个最高次上同调类), $[M\cap M{]}_{TM}$ 表示切丛 $TM$ 中 $M$ 和自己的相交数.

注 4.2. 相交数 $[M\cap M{]}_{TM}$ 可以被看作 $M$ 上的向量场的指标 (index). 具体地说, 我们把其中一个 $M$ 看作零截面, 另一个看作向量场对应的截面. 如果这两个截面横截相交, 那么这个相交数就等于向量场的零点的 “加权个数”.

在证明之前, 我们先给出几个例子.

推论 4.3 (毛球定理). 球面 $S^2$ 上不存在处处非零的连续向量场.

$\square$

我们也可以用 Euler 类来计算其它的示性类.

推论 4.4.

•	如果 $R$ 是特征 $2$ 域, $M$ 是紧、连通的 $n$ 维流形, 则$$w_n(TM)\equiv \chi (M)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2).$$
•	如果 $M$ 是紧、连通的 $n$ 维近复流形 (这包括所有的复流形), 则$$c_n(TM)=\chi (M).$$特别地, 亏格 $g$ 的 Riemann 面的切丛的 $c_1$ 类等于 $2-2g$.
•	如果 $M$ 是紧、连通的 $n$ 维近四元数流形 (例如 $\mathbb{H}{\mathrm{P}}^n$), 则$$p_n(TM)=\chi (M).$$$\square$

下面, 我们开始做一些定理证明的准备工作.

引理 4.5. 设 $M$ 是流形. 将 $M$ 通过对角映射嵌入 $M\times M$. 则 $M$ 在 $M\times M$ 中的法丛同构于切丛 $TM$.

证明. 在点 $x\in M$ 处, 这个同构由$$\begin{array}{rl}{T}_{x}M& \to T_{(x,x)}(M\times M),\\ v& \mapsto (v,-v)\end{array}$$给出.

$\square$

推论 4.6. 将 $M$ 通过对角映射嵌入 $M\times M$. 则$${\tilde{H}}^{\bullet }(\mathrm{T}\mathrm{h}(TM))\simeq H^{\bullet }(M\times M,M\times M\setminus M).$$$\square$

通过这个同构, $TM$ 的 Thom 类对应了一个上同调类$$u\in H^{\bullet }(M\times M,M\times M\setminus M).$$它称为对角类, 它也可以看成 $H^{\bullet }(M\times M)$ 的元素.

Poincaré–Hopf 定理描述了流形的 Euler 类. 由于 Euler 类的构造, 它其实就是对角类 $u$ 在子流形 $M\subset M\times M$ 上的限制. 我们的证明就通过研究对角类来完成.

注 4.7. 由 Thom 类的刻画, 如果用一个微分形式来代表对角类, 我们可以取支集在 $M$ 的一个管状邻域内, 且方向垂直于 $M$ 的一个形式. 读过 [BT82] 的读者会发现, 这说明对角类是子流形 $M\subset M\times M$ 的 Poincaré 对偶.

我们通过紧流形的上同调的 Poincaré 对偶, 来描述对角类.

定理 4.8 (上同调的 Poincaré 对偶). 设系数环 $R$ 是域, 设 $M$ 是 $R$-已定向的紧、连通的 $n$ 维流形. 取 $R$-向量空间 $H^{\bullet }(M;R)$ 的一组基 $b_1,\dots ,b_r$, 使得每个 $b_i$ 都是齐次的 (即落在某个 $H^k$ 中). 则

•	存在 $H^{\bullet }(M;R)$ 的一组对偶基 $\{b_i^{\ast }\}$, 满足$$b_i\cup b_j^{\ast }={\delta }_{ij}\in H^n(M;R),$$这里 ${\delta }_{ij}\in H^n(M;R)$ 的含义是, 它作用在 $M$ 的基本类 $[M]\in H_n(M;R)$ 上等于 ${\delta }_{ij}$.
•	记 $|b_i|=\mathrm{deg}{b}_i$. 则$$u=\sum _{i=1}^r(-1{)}^{|b_i|}{b}_i\times b_i^{\ast }\in H^n(M\times M;R).$$

证明这个定理之前, 我们先假设它成立, 证明 Poincaré–Hopf 定理.

定理 4.1 的证明. 记 $\Delta :M\hookrightarrow M\times M$ 是对角映射. 则$$\begin{array}{rl}e(TM)& ={\Delta }^{\ast }u\\ & ={\Delta }^{\ast }(\sum _{i=1}^r(-1{)}^{|b_i|}{b}_i\times b_i^{\ast })\\ & =\sum _{i=1}^r(-1{)}^{|b_i|}{b}_i\cup b_i^{\ast }\\ & =\sum _{i=1}^r(-1{)}^{|b_i|}\\ & =\chi (M).\end{array}$$另一方面, 因为 $u$ 是子流形 $M$ 的 Poincaré 对偶, 所以 $M\cap M$ 的 Poincaré 对偶是 $u\cup u$. 在表达式 $u=\sum (-1{)}^{|b_i|}{b}_i\times b_i^{\ast }$ 中交换 $M\times M$ 的两个因子 $M$ 的地位, 我们得到 $u=\sum b_i^{\ast }\times b_i$, 这里 $(-1{)}^{|b_i|}$ 消失的原因是, 交换两个 $M$ 的次序之后, 奇异单形的定向 (或者说, 微分形式相乘的次序) 不同. 因此, $$\begin{array}{rl}u\cup u& =\sum _{i,j=1}^r(-1{)}^{|b_i|}(b_i\times b_i^{\ast })\cup (b_j^{\ast }\times b_j)\\ & =\sum _{i,j=1}^r(-1{)}^{|b_i|+|b_i^{\ast }||b_j^{\ast }|}(b_i\cup b_j^{\ast })\times (b_i^{\ast }\cup b_j)\\ & =\sum _{i=1}^r(-1{)}^{|b_i|+|b_i^{\ast }|}(b_i\cup b_i^{\ast })\times (b_i^{\ast }\cup b_i)\\ & =\sum _{i=1}^r(-1{)}^{|b_i|+|b_i^{\ast }|+|b_i||b_i^{\ast }|}\\ & =\chi (M),\end{array}$$其中最后一步通过讨论 $\dim M$ 的奇偶性得到.

$\square$

下面, 我们来证明 (4.8). 证明的概要如下: 首先把 $u$ 写成 ${\sum }_{i=1}^r{b}_i\times c_i$ 的形式. 通过 $u$ 的性质, 我们实际上能证明, $\{(-1{)}^{|b_i|}{c}_i\}$ 构成 $\{b_i\}$ 的一组对偶基. 这样, 我们就在描述对角类的同时, 重新证明了 Poincaré 对偶定理.

定义 4.9. 设 $X,Y$ 是拓扑空间. 我们定义除积 (slant product) $$/:H^{p+q}(X\times Y)\otimes H_q(Y)\to H^p(X),$$定义的方法是将 $Y$ 的上同调和下同调进行配对. 具体地说, 它是由奇异链复形、奇异上链复形的映射$$S^{\bullet }(X\times Y)\otimes S_{\bullet }(Y)\to S^{\bullet }(X)\otimes S^{\bullet }(Y)\otimes S_{\bullet }(Y)\stackrel{\text{配对}}{\to }{S}^{\bullet }(X)$$诱导的映射.

由这个定义, 如果 $a\in H^p(X)$, $b\in H^q(Y)$, $c\in H_q(Y)$, 那么$$(a\times b)/c=⟨b,c⟩\cdot a.$$

引理 4.10. 设 $[M]\in H_n(M)$ 是 $M$ 的基本类. 则$$u/[M]=1\in H^0(M),$$其中 $u\in H^n(M\times M)$ 是之前定义的对角类.

证明. 只需对一个 $x\in M$, 证明 $(u/[M]){|}_x=1\in H^0(x)$. 我们有交换图$$H^n(M\times M)H^0(M)H^n(x\times M)H^0(x)\text{ ,}{i}_x^{\ast }/[M]/[M]$$其中 $i_x:x\times M\hookrightarrow M\times M$ 是含入映射. 对角类 $u$ 在图表的左上角, 它在右下角的像是 $u/[M]$ (先右后下), 也是 $(1\otimes i_x^{\ast }u)/[M]=⟨i_x^{\ast }u,[M]⟩$ (先下后右).

另一方面, 我们有四个拓扑空间对构成的交换图$$(x\times M,\varnothing )(x\times M,x\times M\setminus x\times x)(M\times M,\varnothing )(M\times M,M\times M\setminus M)\text{ ,}{i}_x{j}_x$$其中右下角的 $M$ 是 $M\times M$ 中的对角线. 我们将 $u$ 视为 $H^n(M\times M,M\times M\setminus M)$ 的元素, 则$$⟨i_x^{\ast }u,[M]⟩=⟨j_x^{\ast }u,[M]⟩=1,$$其中第二个 $[M]$ 是 $H^n(M,M\setminus x)$ 的元素, 第一个等号是由于上面的交换图, 第二个等号是因为 $j_x^{\ast }u$ 本质上是 Thom 类在纤维上的限制.

$\square$

引理 4.11. 设 $a\in H^{\bullet }(M)$ 是任一上同调类. 则在 $M\times M$ 的上同调环中, $$(a\otimes 1)\cup u=(1\otimes a)\cup u.$$

证明. 取对角线 $M\subset M\times M$ 的管状邻域 $N$, 并记 $i:N\hookrightarrow M\times M$ 为含入映射. 通过选取合适的 $N$, 我们可以保证向两个分量的投影$$p_1{|}_N,p_2{|}_N:N\to M$$是同伦的 (请读者验证). 这说明$$i^{\ast }(a\otimes 1)=i^{\ast }(1\otimes a).$$通过交换图$$H^{\bullet }(M\times M)H^{\bullet }(N)H^{\bullet +n}(M\times M,M\times M\setminus M)H^{\bullet +n}(N,N\setminus M)\text{ ,}\cup u{i}^{\ast }\cup u\simeq \text{切除}$$我们就得到了要证的等式.

$\square$

定理 4.8 的证明. 和上面一样, 记 $u\in H^n(M\times M)$ 为对角类. 我们将它写成$$u={\sum }_i{b}_i\otimes c_i$$的形式 (这是因为 Künneth 公式中的 Tor 部分消失).

设 $a\in H^{\bullet }(M)$ 是任一上同调类. 一方面, 我们有$$\begin{array}{rl}& ((a\otimes 1)\cup u)/[M]\\ =& (a\otimes 1)/[M]\cup u/[M]\\ =& a\cup 1=a,\end{array}$$而另一方面, 我们有$$\begin{array}{rl}& ((1\otimes a)\cup u)/[M]\\ =& {\sum }_i((1\otimes a)\cup (b_i\otimes c_i))/[M]\\ =& {\sum }_i(-1{)}^{|a||b_i|}((1\cup b_i)\otimes (a\cup c_i))/[M]\\ =& {\sum }_i(-1{)}^{|a||b_i|}⟨a\cup c_i,[M]⟩b_i.\end{array}$$由引理, 上面两个式子是相等的. 我们取 $a=b_j$, 并比较式中 $b_i$ 的系数, 得到$$(-1{)}^{|b_i||b_j|}⟨b_j\cup c_i,[M]⟩={\delta }_{ij}.$$因此, 取 $b_i^{\ast }=(-1{)}^{|b_i|}{c}_i$, 就能满足定理的要求.

$\square$

$\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n$ 能否浸入 ${\mathbb{R}}^N$

定理 4.12. 设 $n=2,4,8,16,\dots$. 则 $\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n$ 能够浸入 ${\mathbb{R}}^N$ 当且仅当 $N\ge 2n-1$.

在流形理论中, Whitney 浸入定理说明, 当 $n\ge 2$ 时, 每个 $n$ 维流形都能浸入 ${\mathbb{R}}^{2n-1}$. 我们的定理说明, 这个线性界 $2n-1$ 是最佳的.

定理的证明思路是, 如果这样的浸入存在, 那么切丛和法丛的直和就是平凡丛. 因此, 由 Whitney 乘积公式, 得到$$w(T\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n)w(\text{法丛})=1.$$通过这个等式, 我们能给出法丛的秩的下界.

首先, 我们计算射影空间的切丛的示性类.

定理 4.13. 设系数环是 $\mathbb{K}$-可定向的. 如果 $n\ge 1$, 那么当 $\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$ 时分别有$$\begin{array}{rl}w(T\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n)& =(1+x{)}^{n+1},\\ c(T\mathbb{C}{\mathrm{P}}^n)& =(1+y{)}^{n+1},\\ p(T\mathbb{H}{\mathrm{P}}^n)& =(1+z{)}^{n+1},\end{array}$$其中 $x,y,z$ 分别是 $H^1(\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n),H^2(\mathbb{C}{\mathrm{P}}^n),H^4(\mathbb{H}{\mathrm{P}}^n)$ 的生成元. 这里, 我们赋予 $T\mathbb{H}{\mathrm{P}}^n$ 自然的四元数向量丛结构.

证明. 我们只叙述 $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 情况的证明, 其它情况同理.

考虑流形 ${\mathbb{R}}^{n+1}\setminus \{0\}$ 的切丛$$T=T({\mathbb{R}}^{n+1}\setminus \{0\})\simeq ({\mathbb{R}}^{n+1}\setminus \{0\})\times {\mathbb{R}}^{n+1}.$$实数乘法群 ${\mathbb{R}}^{\times }$ 通过 (对所有分量) 数乘作用在 $T$ 上. 作为 $\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n$ 上的向量丛, 有$$T/{\mathbb{R}}^{\times }\simeq T\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n\oplus \mathbb{R},$$其中最后一个 $\mathbb{R}$ 表示 $\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n$ 上的平凡丛, 它来自于径向的切向量. 另一方面, 作为 $\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n$ 上的向量丛, 有$$(({\mathbb{R}}^{n+1}\setminus \{0\})\times \mathbb{R})/{\mathbb{R}}^{\times }\simeq \mathcal{O}(-1),$$其中 ${\mathbb{R}}^{\times }$ 的作用是数乘. 于是, $$T\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n\oplus \mathbb{R}\simeq T/{\mathbb{R}}^{\times }\simeq \mathcal{O}(-1{)}^{\oplus (n+1)}.$$在这一等式中, 计算两边的全 Stiefel–Whitney 类, 得到$$w(T\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n)=w(\mathcal{O}(-1){)}^{n+1}=(1+x{)}^{n+1}.$$$\square$

定理 4.12 的证明. Whitney 浸入定理说明了后一条件的充分性. 为证必要性, 假设存在这样的浸入. 则由之前的讨论, 注意到 $n$ 是 $2$ 的幂, 有$$\begin{array}{rl}w(\text{法丛})& =w^{-1}(T\mathbb{R}{\mathrm{P}}^n)\\ & =((1+x{)}^{n+1}{)}^{-1}\\ & =(1+x+x^n+\cancel{x^{n+1}}{)}^{-1}\\ & =1+(x+x^n)+(x+x^n{)}^2+\cdots \\ & =1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}.\end{array}$$因此, 法丛的秩至少是 $n-1$, 从而 $N\ge 2n-1$.

$\square$

球面的近复结构

下面, 我们利用示性类的计算, 来判断哪些球面具有近复结构. 和之前一样, 本节中的流形都是指光滑流形. 本节的内容主要参考了 [KP17].

定义 4.14. 设 $M$ 是 $2n$ 维流形. 它的一个近复结构 (almost complex structure) 是一个将切丛 $TM$ 看成 $n$ 维复向量丛的方法.

根据这个定义, 复流形都有近复结构. 但是, 有近复结构的流形不一定有复结构.

我们先叙述这一节的主要定理:

定理 4.15. 球面 $S^n$ 有近复结构, 当且仅当 $n=0,2,6$.

球面 $S^0$ 和 $S^2$ 事实上都有复结构, 后者的复结构由 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^1$ 给出. 至于 $S^6$ 是否有复结构, 则是一个未解难题. 著名的 Michael Atiyah 在 2016 年宣称 $S^6$ 没有复结构, 但他的论证未被大多数人接受.

定理证明的概要是, 先利用示性类的理论, 排除 $n$ 的所有其它可能性, 然后再在 $S^6$ 上构造一个近复结构.

引理 4.16. 当 $k\ge 1$ 时, 球面 $S^{4k}$ 没有近复结构.

证明. 假设 $S^{4k}$ 有近复结构, 记 $T$ 为相应的复向量丛, 使得 $T$ 对应的实向量丛 $T_{\mathbb{R}}$ 与 $T{S}^{4k}$ 同构. 则$$\begin{array}{rlrl}1& =1+(-1{)}^k{p}_k(T_{\mathbb{R}})& & \\ & =c(T_{\mathbb{R}}\otimes \mathbb{C})& & \text{(由 }{p}_k\text{ 的定义)}\\ & =c(T\oplus \overline{T})& & (T_{\mathbb{R}}\otimes \mathbb{C}\simeq T\oplus \overline{T})\\ & =(1+c_{2k}(T))(1+c_{2k}(\overline{T}))& & \\ & =(1+e(T))(1+e(\overline{T}))& & \\ & =(1+e(T){)}^2& & (T_{\mathbb{R}}\simeq (\overline{T}{)}_{\mathbb{R}})\\ & =1+2e(T).& & \end{array}$$这说明 $e(T)=0$, 这与 Poincaré–Hopf 定理矛盾.

$\square$

引理 4.17. 当 $k\ge 4$ 时, 球面 $S^{2k}$ 没有近复结构.

证明. 设 $T$ 为 $S^{2k}$ 上的复向量丛, 使得 $T_{\mathbb{R}}\simeq T{S}^{2k}$ 同构. 我们知道 $c(T)=1+c_k(T)=1+2x$, 其中 $x$ 是 $H^{2k}(S^{2k};\mathbb{Z})\simeq \mathbb{Z}$ 的生成元 $1$. 因此, 由 (3.17) 给出的公式, $T$ 的陈特征是$$\mathrm{ch}(T)=k+\frac{2}{(k-1)!}x.$$我们断言系数 $2/(k-1)!\in \mathbb{Z}$, 从而必有 $k<4$.

我们证明更一般的结论: 陈特征映射$$\mathrm{ch}:K(S^{2k})\to H^{2\bullet }(S^{2k};\mathbb{Q})$$的像都是整上同调类, 即 $H^{2\bullet }(S^{2k};\mathbb{Z})$ 的元素.

为此, 我们引入约化 $K$-理论: 对带基点的拓扑空间 $X$, 定义$$\tilde{K}(X):=\ker (\mathrm{rank}:K(X)\to \mathbb{Z}),$$其中映射 $\mathrm{rank}$ 定义为在 $X$ 的基点处取向量丛的秩. 对于紧空间 $X$, 由 (3.25), 我们有$$\tilde{K}(X)\simeq [X,\mathrm{B}\mathrm{U}\times \mathbb{Z}{]}_{\ast },$$其中记号 $[,{]}_{\ast }$ 表示固定基点的同伦类的集合.

由 Bott 周期律 (3.28), 对紧空间 $X$, 我们有交换图$$\tilde{K}(X)\tilde{K}({\Sigma }^{2}X){\tilde{H}}^{2\bullet }(X;\mathbb{Q}){\tilde{H}}^{2\bullet }({\Sigma }^{2}X;\mathbb{Q})\text{ ,}\mathrm{ch}\otimes (H-1)\simeq \mathrm{ch}\otimes \mathrm{ch}(H-1)\simeq$$其中 ${\Sigma }^{2}X$ 等同于 $X\wedge S^2$, 而 $H$ 是 $S^2\simeq \mathbb{C}{\mathrm{P}}^1$ 的线丛 $\mathcal{O}(-1)$. 注意 $\mathrm{ch}(H-1)=(1+c_1(H))-1=c_1(H)$ 就是 $H^2(S^2)\simeq \mathbb{Z}$ 的生成元, 它是一个整上同调类.

我们用归纳法, 在交换图中将 $X$ 取成 $S^0$, $S^2$, $S^4$, $\dots$, 就完成了证明.

$\square$

定理 4.15 的证明. 由 (4.16), (4.17), 我们只需要在 $S^6$ 上构造一个近复结构.

这个构造用到了八元数的集合 $\mathbb{O}$. 我们记 $\mathrm{Im}\mathbb{O}\simeq {\mathbb{R}}^7$ 为虚八元数的集合, 然后考虑单位球面 $S^6\subset \mathrm{Im}\mathbb{O}$. 对每个 $p\in S^6$, 切空间 $T_p{S}^6$ 可以看作 $\mathrm{Im}\mathbb{O}$ 的子空间 (切空间的原点和 $\mathrm{Im}\mathbb{O}$ 的原点对齐). 为了给出一个近复结构, 我们只需在每个 $p\in S^6$ 定义一个线性变换$$J_p:T_p{S}^6\to T_p{S}^6,$$作为复数 $\mathrm{i}$ 的数乘, 满足 $J_p^2=-1$.

我们列举一些八元数的性质. 八元数的乘法不满足交换律和结合律. 对 $u,v\in \mathbb{O}$, 我们有 $\overline{uv}=\overline{v}\overline{u}$. 并且, 它们的欧氏内积由 $2⟨u,v⟩=u\overline{v}+v\overline{u}$ 给出. 因此, $u\perp v$ 当且仅当 $u\overline{v}=-v\overline{u}$. 当 $u,v\in \mathrm{Im}\mathbb{O}$ 时, 我们有 $\overline{u}=-u$, 以及 $\overline{v}=-v$, 故此时 $u\perp v$ 等价于 $uv=-vu$.

对 $v\in T_p{S}^6$, 我们就定义$$J_p(v)=pv.$$我们需要验证这个构造满足要求. 首先, 我们有$$\overline{pv}=\overline{v}\overline{p}=(-v)(-p)=vp=-pv,$$从而 $pv\in \mathrm{Im}\mathbb{O}$. 又$$p(pv)=-p(vp)=-(pv)p,$$其中第二个等号是由于, 三个八元数相乘时, 若其中两个相等, 则结合律成立. 从而, $pv\perp p$. 最后, $$J_p^{2}v=p(pv)=(pp)v=-(p\overline{p})v=-|p{|}^{2}v=-v.$$因此, $J_p^2=-1$.

$\square$

代数曲线的亏格

设 $f(x,y,z)$ 是复系数 $n$ 次齐次多项式. 方程$$f(x,y,z)=0$$在射影平面 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^2$ 中画出一条曲线, 称为 $n$ 次代数曲线 (algebraic curve).

我们假定这条代数曲线是光滑的, 也就是说, 它是一个紧一维复流形, 即紧 Riemann 面. 当 $n=2$ 时, 我们得到的就是用来折磨高中生的圆锥曲线, 它对应的 Riemann 面是球面. 当 $n=3$ 时, 我们得到的是三次曲线, 又称为椭圆曲线 (elliptic curve). 它的拓扑是圆环面, 可以看作复平面 $\mathbb{C}$ 的商空间, 复数加法赋予了它一个群结构.

Riemann 面的拓扑由其亏格 $g$ 决定. 本节中, 我们将导出 $g$ 与 $n$ 的关系.

定理 4.18. 光滑 $n$ 次代数曲线的亏格是$$g=\frac{1}{2}(n-1)(n-2).$$

如果读者不熟悉代数几何或复几何, 我们介绍一个事实: 对每个 $d\in \mathbb{Z}$, 射影空间 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^n$ 都有一个线丛 $\mathcal{O}(d)$, 它的所有截面就是 ${\mathbb{C}}^{n+1}\setminus \{0\}$ 上所有的 $d$ 次齐次复值函数. 当 $d=-1$ 时, 我们就得到了自言线丛 $\mathcal{O}(-1)$.

引理 4.19. 设 $X\subset \mathbb{C}{\mathrm{P}}^2$ 是光滑 $n$ 次代数曲线. 则法丛 $N$ 同构于 $\mathcal{O}(n){|}_X$.

证明. 设 $X$ 的方程是 $f(x,y,z)=0$. 将 $f$ 看作 ${\mathbb{C}}^3\setminus \{0\}$ 上的复值函数, 则其微分 $df$ 是 $n-1$ 次齐次 $1$-形式.

我们知道, $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^2$ 上的 $1$-形式对应着 ${\mathbb{C}}^3\setminus \{0\}$ 上的 $-1$ 次齐次 $1$-形式. 这说明 $df$ 是 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^2$ 上的向量丛$$T^{\ast }\mathbb{C}{\mathrm{P}}^2\otimes \mathcal{O}(n)$$的截面.

我们将法丛 $N$ 看成商丛 $(T\mathbb{C}{\mathrm{P}}^2{|}_X)/TX$. 则余法丛 $N^{\vee }$ (法丛的对偶) 是 $T^{\ast }\mathbb{C}{\mathrm{P}}^2{|}_X$ 的子丛, 它由所有把 $X$ 的切向量变成 $0$ 的线性函数构成. 而 $df$ 就满足这个条件. 因此, $df$ 是 $X$ 上的线丛$$L=N^{\vee }\otimes \mathcal{O}(n){|}_X$$的截面, 且在 $X$ 上处处非零. 这说明 $L$ 是平凡丛. 在等式两边与 $\mathcal{O}(-n){|}_X$ 做张量积, 我们得到$$\mathcal{O}(-n){|}_X\simeq N^{\vee },$$也就是 $N\simeq \mathcal{O}(n){|}_X$.

$\square$

定理 4.18 的证明. 设 $X\subset \mathbb{C}{\mathrm{P}}^2$ 是光滑 $n$ 次代数曲线. 由 (4.19), 其法丛是 $\mathcal{O}(n){|}_X$. 因此, $$T\mathbb{C}{\mathrm{P}}^2{|}_X\simeq TX\oplus \mathcal{O}(n){|}_X.$$取全陈类, 由 (4.13), 有$$\begin{array}{rl}c(TX)& =\frac{c(T\mathbb{C}{\mathrm{P}}^2{|}_X)}{c(\mathcal{O}(n){|}_X)}\\ & =\frac{(1+x{)}^3}{1+nx}\\ & =(1+3x)(1-nx)\\ & =1+(3-n)x,\end{array}$$其中 $x$ 是 $H^2(\mathbb{C}{\mathrm{P}}^2)$ 的生成元在 $H^2(X)$ 中的像. 我们有$$⟨x,[X]⟩=n,$$这是因为, 这个配对等于 $X$ 与 $x$ 的 Poincaré 对偶 (即一条直线) 的相交数. 最后, Poincaré–Hopf 定理告诉我们$$2-2g=\chi (X)=(3-n)n,$$这蕴涵了计算 $g$ 的式子.

$\square$

配边和示性数

下面, 我们介绍一个深刻的结论, 即 Понтрягин–Thom 定理. 它将示性类和流形的配边联系起来, 从而, 我们可以通过示性类, 来判断一个流形是否是某个带边流形的边界.

和之前一样, 在本节中, 流形默认是光滑、不带边的.

定义 4.20. 设 $M$ 是紧 $n$ 维 (i) 实, (ii) 复, (iii) 实流形. 设 $I=(i_1,\dots ,i_r)$ 是一组正整数, 满足 ${\sum }_k{i}_k=$ (i, ii) $n$, (iii) $n/4$. 则

1.	$M$ 的第 $I$ 个 Stiefel–Whitney 数定义为模 $2$ 的整数$$w_I(M)=⟨w_{i_1}(TM)\cdots w_{i_r}(TM),[M]⟩(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2).$$
2.	$M$ 的第 $I$ 个陈数定义为整数$$c_I(M)=⟨c_{i_1}(TM)\cdots c_{i_r}(TM),[M]⟩.$$
3.	$M$ 的第 $I$ 个 Понтрягин 数定义为整数$$p_I(M)=⟨p_{i_1}(TM)\cdots p_{i_r}(TM),[M]⟩.$$

定义 4.21. 设 $M,N$ 是两个已定向的 $n$ 维实流形. 它们的一个配边 (cobordism) 是一个带边 $n+1$ 维流形 $W$, 满足$$\partial W=(-M)\bigsqcup N,$$其中 $-M$ 表示 $M$ 的相反定向, $\bigsqcup$ 表示不交并. 此时, 我们说 $M$ 与 $N$ 是可配边 (cobordant) 的.

例如, 一个流形与 $\varnothing$ 可配边, 等价于它是某个带边流形的边界.

定理 4.22. 设实流形 $M$ 是某个带边流形的边界. 则 $M$ 的所有 Stiefel–Whitney 数和所有 Понтрягин 数 (如果能定义的话) 都等于 $0$.

特别地, 如果实流形 $M,N$ 可配边, 那么它们的所有示性数都相等.

证明. 设 $M=\partial W$. 则$$TW{|}_M\simeq TM\oplus \mathbb{R},$$其中 $\mathbb{R}$ 是秩为 $1$ 的平凡丛, 它由 $\partial W$ 上指向 $W$ 外侧的向量场给出. 这说明 $TW{|}_M$ 和 $TM$ 的所有示性类都相等.

考虑上同调的长正合列$$\cdots \to H^n(W)\stackrel{i^{\ast }}{⟶}{H}^n(M)\stackrel{\delta }{⟶}{H}^{n+1}(W,M)\to \cdots ,$$其中 $n=\dim M$. 由上面的讨论, $H^n(W)$ 的元素 $w_{i_1}(TW)\cdots w_{i_r}(TW)$ 被 $i^{\ast }$ 映到 $w_{i_1}(TM)\cdots w_{i_r}(TM)$, 它被 $\delta$ 映到 $0$. 这说明$$\begin{array}{rlrl}0& =⟨\delta (w_{i_1}(TM)\cdots w_{i_r}(TM)),[W]⟩& & ([W]\in H_{n+1}(W,M))\\ & =⟨w_{i_1}(TM)\cdots w_{i_r}(TM),\partial [W]⟩& & (\partial [W]\in H_n(M))\\ & =⟨w_{i_1}(TM)\cdots w_{i_r}(TM),[M]⟩& & \\ & =w_I(M).& & \end{array}$$同样的讨论对 Понтрягин 数也成立.

至于最后一个命题, 只需注意到 $M,N$ 可配边等价于 $(-M)\bigsqcup N$ 是某个流形的边界, 而 $-M$ 的示性数与 $M$ 相差一个符号, 因为 $[M]$ 反号了.

$\square$

这个定理的逆向是一个更深刻的结论, 我们在这里就不证明了.

定理 4.23 (Понтрягин–Thom). 实流形 $M$ 是某个带边流形的边界, 当且仅当 $M$ 的所有 Stiefel–Whitney 数都等于 $0$.

最后, 我们再介绍一个有趣的应用.

命题 4.24. 如果 $4n$ 维流形 $M$ 有一个反定向的自微分同胚, 那么它的所有 Понтрягин 数都等于 $0$.

证明. 我们已经知道, 如果将定向反过来, 那么示性数会反号. 因此, $M$ 的所有示性数都和它的相反数相等.

$\square$

借助这个简单的结论, 我们可以找到一些 “不能内外翻转” 的流形.

习题 4.25. 通过计算示性数, 证明 $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^{2n}$ 没有反定向的自微分同胚, 也不是另一个流形的边界.