40. 数的整数次方

为简便地表示一个数自乘多次, 人们聪明地作了次方.

定义 40.1. 设 $x$ 是数. 设 $m$ 是非负整数. 定义 $x$ 的 $m$ 次方$$\begin{array}{r}{x}^m=\{\begin{array}{ll}1,& m=0;\\ x^{m-1}x,& m⩾1.\end{array}\end{array}$$

不难看出, $x^1=x^{0}x=1x=x$.

例 40.2. 设 $m$ 是非负整数. 我们用数学归纳法证明, $1^m=1$.

作命题 $P(m)$: $1^m=1$. 我们的目标是: 对任何非负整数 $m$, $P(m)$ 是对的.

$P(0)$ 是对的, 因为 $1^0=1$.

假定 $P(m)$ 是对的. 我们由此证明, $P(m+1)$ 也是对的. 注意, $1^{m+1}=1^m\cdot 1=1\cdot 1=1$.

所以, $P(m+1)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

定理 40.3. 设 $x$, $y$ 是数. 设 $m$, $\ell$ 是非负整数. 则

(1) $x^{\ell +m}=x^{\ell }{x}^m$;

(2) $(x^{\ell }{)}^m=x^{\ell m}$;

(3) $(xy{)}^m=x^m{y}^m$.

证. 我们用数学归纳法证明它们.

(1) 作命题 $P(m)$: $x^{\ell +m}=x^{\ell }{x}^m$. 我们的目标是: 对任何非负整数 $m$, $P(m)$ 是对的.

$P(0)$ 是对的, 因为 $x^{\ell +0}=x^{\ell }=x^{\ell }1=x^{\ell }{x}^0$.

假定 $P(m)$ 是对的. 我们由此证明, $P(m+1)$ 也是对的. 注意, $$\begin{array}{r}{x}^{\ell +(m+1)}=x^{(\ell +m)+1}=x^{\ell +m}x=(x^{\ell }{x}^m)x=x^{\ell }(x^{m}x)=x^{\ell }{x}^{m+1}.\end{array}$$所以, $P(m+1)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

(2) 作命题 $Q(m)$: $(x^{\ell }{)}^m=x^{\ell m}$. 我们的目标是: 对任何非负整数 $m$, $Q(m)$ 是对的.

$Q(0)$ 是对的, 因为 $(x^{\ell }{)}^0=1=x^0=x^{\ell 0}$.

假定 $Q(m)$ 是对的. 我们由此证明, $Q(m+1)$ 也是对的. 注意, $$\begin{array}{r}(x^{\ell }{)}^{m+1}=(x^{\ell }{)}^m{x}^{\ell }=x^{\ell m}{x}^{\ell }=x^{\ell m+\ell }=x^{\ell (m+1)}.\end{array}$$所以, $Q(m+1)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

(3) 作命题 $R(m)$: $(xy{)}^m=x^m{y}^m$. 我们的目标是: 对任何非负整数 $m$, $R(m)$ 是对的.

$R(0)$ 是对的, 因为 $(xy{)}^0=1=1\cdot 1=x^0{y}^0$.

假定 $R(m)$ 是对的. 我们由此证明, $R(m+1)$ 也是对的. 注意, $$\begin{array}{rl}(xy{)}^{m+1}=& (xy{)}^m(xy)=(x^m{y}^m)(xy)=((x^m{y}^m)x)y=(x^m(y^{m}x))y\\ =& (x^m(x{y}^m))y=((x^{m}x)y^m)y=x^{m+1}(y^{m}y)=x^{m+1}{y}^{m+1}.\end{array}$$所以, $R(m+1)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证毕.

以上, 我们讨论了数的非负整数次方. 若一个数不是 $0$, 我们还能讨论它的负整数次方, 故我们能讨论它的整数次方.

定义 40.4. 设 $x$ 是数, 且 $x\ne 0$. 设 $m$ 是整数.

(1) 设 $m⩾0$. 则 $x$ 的 $m$ 次方 $x^m$ 已被定义.

(2) 设 $m<0$. 因为 $x\ne 0$, 故有 (唯一的) 数 $u$ 使 $ux=1=xu$. 我们定义 $x$ 的 $m$ 次方 $x^m$ 为 $u$ 的 $-m$ 次方 $u^{-m}$.

例 40.5. 设 $m$ 是负整数. 设 $x$ 是 $1$ 或 $-1$. 我们计算 $x^m$.

因为 $x$ 适合 $xx=1=xx$, 故, 由定义, $x^m=x^{-m}$.

若 $x=1$, 则 $1^m=1^{-m}=1$. 由此可见, 对任何整数 $n$, 有 $1^n=1$.

不难看出, 若 $x\ne 0$, 则 $x^{-1}=u^{-(-1)}=u$. 则 $x^{-1}x=1=x{x}^{-1}$.

不是 $0$ 的数的整数次方也有跟数的非负整数次方的性质类似的性质. 不过, 它们的证明是较复杂的.

定理 40.6. 设 $x$, $y$ 是数, 且都不是 $0$. 设 $m$, $\ell$ 是整数. 则

(1) $x^{\ell +m}=x^{\ell }{x}^m$;

(2) $(x^{\ell }{)}^m=x^{\ell m}$;

(3) $(xy{)}^m=x^m{y}^m$.

证. 以下, 设 (唯一的) 数 $u$ 适合 $ux=1=xu$, 且设 (唯一的) 数 $v$ 适合 $vy=1=yv$. 我们先证 (2); 我们再证 (3); 我们最后证 (1).

(2) 分类讨论. 设 $\ell ⩾0$, 且 $m⩾0$. 则我们已证此情形.

设 $\ell ⩾0$, 且 $m<0$. 则 $\ell ⩾0$, 且 $-m>0$. 因为 $x\ne 0$, 故 $x^{\ell }\ne 0$. 则有 (唯一的) 数 $U$ 使 $U{x}^{\ell }=1=x^{\ell }U$. 注意, $u^{\ell }{x}^{\ell }=(ux{)}^{\ell }=1^{\ell }=1$, 且 $x^{\ell }{u}^{\ell }=(xu{)}^{\ell }=1^{\ell }=1$, 故 $U=u^{\ell }$. 则 $(x^{\ell }{)}^m=U^{-m}=(u^{\ell }{)}^{-m}=u^{\ell (-m)}$. 另一方面, 因为 $\ell m<0$, 故 $x^{\ell m}=u^{-(\ell m)}=u^{\ell (-m)}$. 故 $(x^{\ell }{)}^m=u^{\ell (-m)}=x^{\ell m}$.

设 $\ell <0$, 且 $m⩾0$. 则 $-\ell >0$, 且 $m⩾0$. 则 $x^{\ell }=u^{-\ell }$. 则 $(x^{\ell }{)}^m=(u^{-\ell }{)}^m=u^{(-\ell )m}$. 另一方面, 因为 $\ell m<0$, 故 $x^{\ell m}=u^{-(\ell m)}=u^{(-\ell )m}$. 故 $(x^{\ell }{)}^m=u^{(-\ell )m}=x^{\ell m}$.

设 $\ell <0$, 且 $m<0$. 则 $-\ell >0$, 且 $-m>0$. 则 $x^{\ell }=u^{-\ell }$. 因为 $u\ne 0$, 故 $u^{-\ell }\ne 0$. 则有 (唯一的) 数 $X$ 使 $X{u}^{-\ell }=1=u^{-\ell }X$. 注意, $x^{-\ell }{u}^{-\ell }=(xu{)}^{-\ell }=1^{-\ell }=1$, 且 $u^{-\ell }{x}^{-\ell }=(ux{)}^{-\ell }=1^{-\ell }=1$, 故 $X=x^{-\ell }$. 则 $(x^{\ell }{)}^m=X^{-m}=(x^{-\ell }{)}^{-m}=x^{(-\ell )(-m)}=x^{\ell m}$.

(3) 分类讨论. 设 $m⩾0$. 则我们已证此情形.

设 $m<0$. 则 $-m>0$. 因为 $x\ne 0$, 且 $y\ne 0$, 故 $xy\ne 0$. 则有 (唯一的) 数 $W$ 使 $W(xy)=1=(xy)W$. 注意, $(vu)(xy)=v(ux)y=vy=1$, 且 $(xy)(vu)=x(yv)u=xu=1$, 故 $W=vu$. 则 $(xy{)}^m=W^{-m}=(vu{)}^{-m}=v^{-m}{u}^{-m}=y^m{x}^m=x^m{y}^m$.

(1) 分类讨论. 设 $\ell ⩾0$, 且 $m⩾0$. 则我们已证此情形.

设 $\ell ⩾0$, $m<0$, 且 $\ell +m⩾0$. 则 $x^{\ell +m}=x^{\ell +m}{1}^m=x^{\ell +m}(x^{-1}x{)}^m=x^{\ell +m}(x^{-1}{)}^m{x}^m=x^{\ell +m}{x}^{-m}{x}^m=x^{\ell +m+(-m)}{x}^m=x^{\ell }{x}^m$.

设 $\ell ⩾0$, $m<0$, 且 $\ell +m<0$. 则 $\ell ⩾0$, $-m>0$, 且 $-\ell +(-m)>0$. 则 $x^{\ell +m}=u^{-(\ell +m)}=u^{-\ell +(-m)}=1^{\ell }{u}^{-\ell +(-m)}=(xu{)}^{\ell }{u}^{-\ell +(-m)}=x^{\ell }{u}^{\ell }{u}^{-\ell +(-m)}=x^{\ell }{u}^{\ell +(-\ell )+(-m)}=x^{\ell }{u}^{-m}=x^{\ell }{x}^m$.

设 $\ell <0$, 且 $m⩾0$. 则 $m⩾0$, 且 $\ell <0$. 则 $x^{\ell +m}=x^{m+\ell }=x^m{x}^{\ell }=x^{\ell }{x}^m$.

设 $\ell <0$, 且 $m<0$. 则 $-\ell >0$, $-m>0$, 且 $-\ell +(-m)>0$. 则 $x^{\ell +m}=u^{-(\ell +m)}=u^{-\ell +(-m)}=u^{-\ell }{u}^{-m}=x^{\ell }{x}^m$.

证毕.