21. 由 n 个 n 元 ⩽1 次方程作成的方程组 (1)

前面, 我们学习了线性方程组的一些基本的概念. 我们知道, 可用阵等式简单地写一个线性方程组 (或者, 形如 $AX=B$ 的阵等式就是一个线性方程组). 本节, 我们讨论由 $n$ 个 $n$ 元 $⩽1$ 次方程作成的方程组. 用阵等式表示这类方程组, 就是 $AX=B$, 其中 $A$ 是 $n$ 级阵, $B$ 是 $n\times 1$ 阵, 且 $X$ 是未知的 $n\times 1$ 阵. $A$ 是方阵, 故它有行列式. $AX=B$ 的解跟 $A$ 的行列式是否有关系? 此事的回答是 “是”. 我们讨论一个特别的情形. 这会是有用的.

定理 21.1 (Cramer 公式, 1). 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ($n⩾1$). 设 $B$ 是 $n\times 1$ 阵. 设 $X$ 是未知的 $n\times 1$ 阵. 若 $\det (A)\ne 0$, 则线性方程组 $AX=B$ 有唯一的解$$\begin{array}{r}X=(\det (A){)}^{-1}\mathrm{adj}(A)B.\end{array}$$

在论证此事前, 我想用一个简单的例助您理解它.

例 21.2. 设 $a$, $b$ 是常数. 一个 $1$ 元 $⩽1$ 次方程 $ax=b$ 当然也是一个线性方程组: 这是方程数为 $1$ 时的特别情形. 我们在中学就知道, 当 $a\ne 0$ 时, $ax=b$ 有唯一的解 $x=a^{-1}b$. 一方面, $x=a^{-1}b$ 是一个解: $$\begin{array}{r}a(a^{-1}b)=(a{a}^{-1})b=1b=b.\end{array}$$另一方面, 若数 $y$ 也适合 $ay=b$, 则$$\begin{array}{r}y=1y=(a^{-1}a)y=a^{-1}(ay)=a^{-1}b.\end{array}$$

我们说, 此事是 Cramer 公式的一个特例. 我们可写 $ax=b$ 为阵等式 $[a][x]=[b]$. (注意, $[a]$, $[x]$, $[b]$ 都是 $1$ 级阵.) Cramer 公式说, 若 $\det [a]\ne 0$, 则 $[a][x]=[b]$ 有唯一的解 (注意, $1$ 级阵的古伴是 $[1]$) $$\begin{array}{r}[x]=(\det [a]{)}^{-1}\mathrm{adj}([a])[b]=a^{-1}[1][b]=a^{-1}[b]=[a^{-1}b].\end{array}$$这跟我们已知的结论是一样的.

证. 我们先验证 $C=(\det (A){)}^{-1}\mathrm{adj}(A)B$ 适合 $AC=B$: $$\begin{array}{rl}AC=& A((\det (A){)}^{-1}\mathrm{adj}(A)B)\\ =& (\det (A){)}^{-1}(A\mathrm{adj}(A)B)\\ =& (\det (A){)}^{-1}(\det (A)I_{n}B)\\ =& ((\det (A){)}^{-1}\det (A))(I_{n}B)\\ =& B.\end{array}$$

我们再证 $AX=B$ 至多有一个解. 设 $n\times 1$ 阵 $D$ 也适合 $AD=B$. 则$$\begin{array}{rl}D=& ((\det (A){)}^{-1}\det (A))(I_{n}D)\\ =& (\det (A){)}^{-1}(\det (A)I_n)D\\ =& (\det (A){)}^{-1}(\mathrm{adj}(A)A)D\\ =& (\det (A){)}^{-1}\mathrm{adj}(A)(AD)\\ =& (\det (A){)}^{-1}\mathrm{adj}(A)B\\ =& C.\end{array}$$

证毕.

例 21.3. 考虑线性方程组 $AX=B$, 其中$$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}35\\ 94\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right].\end{array}$$不难算出$$\begin{array}{r}\det (A)=1\cdot 4-2\cdot 1=2\ne 0,\end{array}$$所以, 此方程组有唯一的解$$\begin{array}{rl}X=& (\det (A){)}^{-1}\mathrm{adj}(A)B\\ =& \frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}4& -1\\ -2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}35\\ 94\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}4\cdot 35-1\cdot 94\\ -2\cdot 35+1\cdot 94\end{array}\right]\\ =& \frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}46\\ 24\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}23\\ 12\end{array}\right].\end{array}$$

我们可进一步地改写 Cramer 公式. 我们先具体地算出 $\mathrm{adj}(A)B$ 的每一个元:$$\begin{array}{rl}[\mathrm{adj}(A)B{]}_{i,1}=& \sum _{\ell =1}^n[\mathrm{adj}(A){]}_{i,\ell }[B{]}_{\ell ,1}\\ =& \sum _{\ell =1}^n(-1{)}^{\ell +i}\det (A(\ell |i))[B{]}_{\ell ,1}.\end{array}$$设 $A\{i,B\}$ 是以 $B$ 代阵 $A$ 的列 $i$ 后得到的阵. 则$$\begin{array}{r}[A\{i,B\}{]}_{\ell ,k}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{\ell ,k},& k\ne i;\\ [B{]}_{\ell ,1},& k=i.\end{array}\end{array}$$由此可见, $A(\ell |i)=(A\{i,B\})(\ell |i)$ ($\ell =1$, $2$, $\dots$, $n$). 所以$$\begin{array}{rl}& \sum _{\ell =1}^n(-1{)}^{\ell +i}\det (A(\ell |i))[B{]}_{\ell ,1}\\ =& \sum _{\ell =1}^n(-1{)}^{\ell +i}\det ((A\{i,B\})(\ell |i))[A\{i,B\}{]}_{\ell ,1}\\ =& \det (A\{i,B\}).\end{array}$$从而$$\begin{array}{rl}[X{]}_{i,1}=& [(\det (A){)}^{-1}\mathrm{adj}(A)B{]}_{i,1}\\ =& (\det (A){)}^{-1}[\mathrm{adj}(A)B{]}_{i,1}\\ =& (\det (A){)}^{-1}\det (A\{i,B\})\\ =& \frac{\det (A\{i,B\})}{\det (A)}.\end{array}$$由此, 我们得到 Cramer 公式的另一个形式:

定理 21.4 (Cramer 公式, 2). 设线性方程组$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{a}_{1,1}{x}_1+a_{1,2}{x}_2+\cdots +a_{1,n}{x}_n=b_1,\\ a_{2,1}{x}_1+a_{2,2}{x}_2+\cdots +a_{2,n}{x}_n=b_2,\\ \dots ,\\ a_{n,1}{x}_1+a_{n,2}{x}_2+\cdots +a_{n,n}{x}_n=b_n.\end{array}\end{array}$$(注意, 方程数等于未知数数.) 记$$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right].\end{array}$$若 $\det (A)\ne 0$, 则此线性方程组有唯一的解$$\begin{array}{r}{x}_i=\frac{\det (A\{i,B\})}{\det (A)},\text{i=1, 2, …, n},\end{array}$$其中 $A\{i,B\}$ 是以 $B$ 代阵 $A$ 的列 $i$ 后得到的阵.

例 21.5. 考虑由 $2$ 个 $2$ 元 $⩽1$ 次方程作成的方程组$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{a}_{1,1}{x}_1+a_{1,2}{x}_2=b_1,\\ a_{2,1}{x}_1+a_{2,2}{x}_2=b_2.\end{array}\end{array}$$根据 Cramer 公式, 若 $\det \left[\begin{array}{cc}{a}_{1,1}& a_{1,2}\\ a_{2,1}& a_{2,2}\end{array}\right]=a_{1,1}{a}_{2,2}-a_{2,1}{a}_{1,2}\ne 0$, 则此方程组有唯一的解$$\begin{array}{r}{x}_1=\frac{\det \left[\begin{array}{cc}{b}_1& a_{1,2}\\ b_2& a_{2,2}\end{array}\right]}{\det \left[\begin{array}{cc}{a}_{1,1}& a_{1,2}\\ a_{2,1}& a_{2,2}\end{array}\right]}=\frac{b_1{a}_{2,2}-b_2{a}_{1,2}}{a_{1,1}{a}_{2,2}-a_{2,1}{a}_{1,2}},\\ x_2=\frac{\det \left[\begin{array}{cc}{a}_{1,1}& b_1\\ a_{2,1}& b_2\end{array}\right]}{\det \left[\begin{array}{cc}{a}_{1,1}& a_{1,2}\\ a_{2,1}& a_{2,2}\end{array}\right]}=\frac{a_{1,1}{b}_2-a_{2,1}{b}_1}{a_{1,1}{a}_{2,2}-a_{2,1}{a}_{1,2}}.\end{array}$$

例 21.6. 考虑线性方程组$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=35,\\ 2x_1+4x_2=94.\end{array}\end{array}$$因为 $\det \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 4\end{array}\right]=1\cdot 4-2\cdot 1=2\ne 0$, 故, 此方程组有唯一的解$$\begin{array}{r}{x}_1=\frac{\det \left[\begin{array}{cc}35& 1\\ 94& 4\end{array}\right]}{\det \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 4\end{array}\right]}=\frac{35\cdot 4-94\cdot 1}{2}=23,\\ x_2=\frac{\det \left[\begin{array}{cc}1& 35\\ 2& 94\end{array}\right]}{\det \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 4\end{array}\right]}=\frac{1\cdot 94-2\cdot 35}{2}=12.\end{array}$$

一般地, Cramer 公式只是一个理论的公式. 这是因为, 一般地, 计算行列式是复杂的事 (或许, 您还记得, $3$ 级阵的行列式的具体的公式含 $6$ 项, 且 $4$ 级阵的行列式的具体的公式含 $24$ 项). 所以, 我们一般用别的方法 (如代入消元法、加减消元法) 解线性方程组.

还是以$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=35,\\ 2x_1+4x_2=94\end{array}\end{array}$$为例. 由方程 $1$, 有 $x_1=35-x_2$. 代入其到方程 $2$, 有 $2(35-x_2)+4x_2=94$, 即 $2x_2=24$. 由此可知 $x_2=12$. 代入其到 $x_1=35-x_2$, 有 $x_1=23$. 最后, 经验证, $(23,12)$ 的确是此方程组的一个解.