5. 阵

虽然, 理论地, 我可不用阵 (矩形数表) 直接讲行列式, 但为方便, 我决定先介绍阵的基础. 相应地, 行列式会被定义为方阵 (正方形数表) 的一个属性.

定义 5.1 (阵). 设 $m$, $n$ 是正整数. 我们说, 由 $mn$ 个文字作成的 $m\times n$ 矩形文字表 (此处的文字, 一般是数, 如整数、有理数、实数; 当然, 也可是跟数有关, 但又不是数的对象, 如整式、分式) $$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{cccc}[A{]}_{1,1}& [A{]}_{1,2}& \cdots & [A{]}_{1,n}\\ [A{]}_{2,1}& [A{]}_{2,2}& \cdots & [A{]}_{2,n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ [A{]}_{m,1}& [A{]}_{m,2}& \cdots & [A{]}_{m,n}\end{array}\right]\end{array}$$是一个 $m\times n$ 阵.

我们说, 有序对 $(m,n)$ 是 $A$ 的尺寸. 习惯地, 我们也可写 $(m,n)$ 为 $m\times n$. 注意这里的文字 $\times$: 一方面, 它可表示乘法, 表示此阵有 $mn$ 个元; 另一方面, 因为我们少地用 $\times$ 表示乘法, 故当我们用 $\times$ 时, 它可能有特别的意思. 比如, $\left[\begin{array}{ccc}a& c& e\\ b& d& f\end{array}\right]$ 跟 $\left[\begin{array}{cc}a& d\\ b& e\\ c& f\end{array}\right]$ 的尺寸是不一样的, 虽然这二个阵都含 $6$ 个元.

我们说, $1\times n$ 阵 $\left[\begin{array}{ccc}[A{]}_{i,1}& \cdots & [A{]}_{i,n}\end{array}\right]$ 是 $A$ 的行 $i$, 且 $m\times 1$ 阵 $\left[\begin{array}{c}[A{]}_{1,j}\\ ⋮\\ [A{]}_{m,j}\end{array}\right]$ 是 $A$ 的列 $j$. 我们说, 行 $i$, 列 $j$ 交叉处的元 $[A{]}_{i,j}$ 是 $A$ 的 $(i,j)$-元.

习惯地, 我们也写 $1\times n$ 阵 $\left[\begin{array}{ccc}[A{]}_{i,1}& \cdots & [A{]}_{i,n}\end{array}\right]$ 为 $[[A{]}_{i,1},\dots ,[A{]}_{i,n}]$. 这里, 为了使二个或多个元不被认为是一个元, 我们在最后一个元前的每一个元后, 加了一个逗号 (当然, 逗号后, 也有一些空白).

若一个阵的尺寸 $(m,n)$ 适合 $m=n$, 我们说, 这个阵是一个方阵. $n\times n$ 阵的一个常用的名字是 $\mathbf{n}$ 级阵 ($n$ 级方阵).

若一个阵的元全为整数, 我们说, 这个阵是一个整阵; 若一个阵的元全为有理数, 我们说, 这个阵是一个有理阵; 若一个阵的元全为实数, 我们说, 这个阵是一个实阵; 若一个阵的元全为数, 我们说, 这个阵是一个数阵. 在本书, 我们多地讨论数阵, 因为我们会用数的运算定义阵的多的运算.

最后, 但并非不重要地, 说二个阵 $A$, $B$ 相等, 就是说, $A$ 的行数 (即其尺寸 $m\times n$ 的第 1 分量 $m$) 等于 $B$ 的行数, $A$ 的列数 (即其尺寸 $m\times n$ 的第 2 分量 $n$) 等于 $B$ 的列数, 且对任何不超过行数 $m$ 的正整数 $i$, 与任何不超过列数 $n$ 的正整数 $j$, 必 $[A{]}_{i,j}=[B{]}_{i,j}$. (通俗地, 二个阵相等, 相当于它们完全一样.) 若二个阵 $A$, $B$ 相等, 我们写 $A=B$. (若二个阵 $A$, $B$ 不相等, 我们写 $A\ne B$.)

我们用文字的相等 (当然, 还有数的相等; 不过, 数也算是文字), 定义了阵的相等. 文字的相等适合如下三条性质:

(1) 每一个文字 $x$ 都跟自己相等: $x=x$.

(2) 若二个文字 $x$, $y$ 适合 $x=y$, 则 $y=x$.

(3) 若三个文字 $x$, $y$, $z$ 适合 $x=y$, 且 $y=z$, 则 $x=z$.

我们可以证明, 阵的相等也适合类似的三条性质.

定理 5.2. 阵的相等适合如下三条性质:

(1) 每一个阵 $A$ 都跟自己相等: $A=A$.

(2) 若二个阵 $A$, $B$ 适合 $A=B$, 则 $B=A$.

(3) 若三个阵 $A$, $B$, $C$ 适合 $A=B$, 且 $B=C$, 则 $A=C$.

证. (1) 设 $A$ 的行数与列数分别是 $m$, $n$. 那么, $A$ 的行数 $m$ 等于 $A$ 的行数, $A$ 的列数 $n$ 等于 $A$ 的列数, 且对任何不超过行数 $m$ 的正整数 $i$, 与任何不超过列数 $n$ 的正整数 $j$, 必 $[A{]}_{i,j}=[A{]}_{i,j}$. (我们用到了文字的相等的性质 (1).) 所以, $A=A$.

(2) 设二个阵 $A$, $B$ 适合 $A=B$. 设 $A$ 的行数与列数分别是 $m$, $n$. 那么, $A$ 的行数 $m$ 等于 $B$ 的行数, 且 $A$ 的列数 $n$ 等于 $B$ 的列数. 所以, $B$ 的行数是 $m$, 且 $B$ 的列数是 $n$. 并且, 对任何不超过行数 $m$ 的正整数 $i$, 与任何不超过列数 $n$ 的正整数 $j$, 必 $[A{]}_{i,j}=[B{]}_{i,j}$.

由此可见, $B$ 的行数 $m$ 等于 $A$ 的行数, $B$ 的列数 $n$ 等于 $A$ 的列数, 且对任何不超过行数 $m$ 的正整数 $i$, 与任何不超过列数 $n$ 的正整数 $j$, 必 $[B{]}_{i,j}=[A{]}_{i,j}$. (我们用到了文字的相等的性质 (2).) 所以, $B=A$.

(3) 设三个阵 $A$, $B$, $C$ 适合 $A=B$, 且 $B=C$. 设 $A$ 的行数与列数分别是 $m$, $n$. 那么, 因为 $A=B$, 故 $A$ 的行数 $m$ 等于 $B$ 的行数, 且 $A$ 的列数 $n$ 等于 $B$ 的列数. 从而, $B$ 的行数是 $m$, $B$ 的列数是 $n$, 且对任何不超过行数 $m$ 的正整数 $i$, 与任何不超过列数 $n$ 的正整数 $j$, 必 $[A{]}_{i,j}=[B{]}_{i,j}$.

又因为 $B=C$, 故 $B$ 的行数 $m$ 等于 $C$ 的行数, 且 $B$ 的列数 $n$ 等于 $C$ 的列数. 从而, $C$ 的行数是 $m$, $C$ 的列数是 $n$, 且对任何不超过行数 $m$ 的正整数 $i$, 与任何不超过列数 $n$ 的正整数 $j$, 必 $[B{]}_{i,j}=[C{]}_{i,j}$.

由此可见, $A$ 的行数 $m$ 等于 $C$ 的行数, $A$ 的列数 $n$ 等于 $C$ 的列数, 且对任何不超过行数 $m$ 的正整数 $i$, 与任何不超过列数 $n$ 的正整数 $j$, 必 $[A{]}_{i,j}=[C{]}_{i,j}$. (我们用到了文字的相等的性质 (3).) 所以, $A=C$.

证毕.

在进入数阵的讨论前, 我先引入一般的阵的运算.

定义 5.3 (转置). 设 $A$ 是一个 $m\times n$ 阵. 定义 $A$ 的转置为一个 $n\times m$ 阵 $A^{\mathrm{T}}$, 其中, 对任何不超过 $n$ 的正整数 $i$ 与任何不超过 $m$ 的正整数 $j$, $$\begin{array}{r}[A^{\mathrm{T}}{]}_{i,j}=[A{]}_{j,i}.\end{array}$$

${}^{\mathrm{T}}$ 来自英语 transpose.

例 5.4. 设$$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{cccc}[A{]}_{1,1}& [A{]}_{1,2}& \cdots & [A{]}_{1,n}\\ [A{]}_{2,1}& [A{]}_{2,2}& \cdots & [A{]}_{2,n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ [A{]}_{m,1}& [A{]}_{m,2}& \cdots & [A{]}_{m,n}\end{array}\right]\end{array}$$是一个 $m\times n$ 阵. 则 $A$ 的转置 $A^{\mathrm{T}}$ 是一个 $n\times m$ 阵, 且因 $[A^{\mathrm{T}}{]}_{i,j}=[A{]}_{j,i}$, 故$$\begin{array}{r}{A}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cccc}[A^{\mathrm{T}}{]}_{1,1}& [A^{\mathrm{T}}{]}_{1,2}& \cdots & [A^{\mathrm{T}}{]}_{1,m}\\ [A^{\mathrm{T}}{]}_{2,1}& [A^{\mathrm{T}}{]}_{2,2}& \cdots & [A^{\mathrm{T}}{]}_{2,m}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ [A^{\mathrm{T}}{]}_{n,1}& [A^{\mathrm{T}}{]}_{n,2}& \cdots & [A^{\mathrm{T}}{]}_{n,m}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}[A{]}_{1,1}& [A{]}_{2,1}& \cdots & [A{]}_{m,1}\\ [A{]}_{1,2}& [A{]}_{2,2}& \cdots & [A{]}_{m,2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ [A{]}_{1,n}& [A{]}_{2,n}& \cdots & [A{]}_{m,n}\end{array}\right].\end{array}$$由此, 不难看出: (a) $A^{\mathrm{T}}$ 的行 $i$ 跟 $A$ 的列 $i$ 对应 ($1⩽i⩽n$), 且 $A^{\mathrm{T}}$ 的列 $j$ 跟 $A$ 的行 $j$ 对应 ($1⩽j⩽m$); (b) 互换 $A$ 的行与列, 得 $A^{\mathrm{T}}$.

关于转置, 我们有一个简单的结论.

定理 5.5. 设 $A$ 是一个阵. 则 $A$ 的转置 $A^{\mathrm{T}}$ 的转置 $(A^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}$ 就是 $A$, 即$$\begin{array}{r}(A^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}=A.\end{array}$$

证. 设 $A$ 是一个 $m\times n$ 阵. 则 $A^{\mathrm{T}}$ 是一个 $n\times m$ 阵. 所以, $(A^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}$ 是一个 $m\times n$ 阵. 不说元是否相等, 至少等式二侧的阵的尺寸是相等的. 现在, 比较元是否相等: $$\begin{array}{r}[(A^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}{]}_{i,j}=[A^{\mathrm{T}}{]}_{j,i}=[A{]}_{i,j}.\end{array}$$看来, 元也相等.

证毕.

习惯地, 用转置, 我们可写 $m\times 1$ 阵 $\left[\begin{array}{c}[A{]}_{1,j}\\ ⋮\\ [A{]}_{m,j}\end{array}\right]$ 为 $[[A{]}_{1,j},\dots ,[A{]}_{m,j}{]}^{\mathrm{T}}$. 这个写法是好的, 因为它可以节约一些空白: 对比 $\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\end{array}\right]$ 与 $[1,2,3,4,5{]}^{\mathrm{T}}$.

在学习行列式时, 我们常要研究去除阵的若干行、若干列后得到的阵. 这就是子阵.

定义 5.6 (子阵, 1). 设 $A$ 是一个 $m\times n$ 阵. 设 $i_1$, $\dots$, $i_s$ 是不超过 $m$ 的互不相同的正整数. 设 $j_1$, $\dots$, $j_t$ 是不超过 $n$ 的互不相同的正整数. 那么, 我们可去除 $A$ 的行 $i_1$, $\dots$, $i_s$, 且去除 $A$ 的列 $j_1$, $\dots$, $j_t$. 此时, 还剩 $m-s$ 行与 $n-t$ 列. 不改变不被去除的元的位置, 这作成了一个 $(m-s)\times (n-t)$ 阵. 我们记它为 $A(i_1,\dots ,i_s|j_1,\dots ,j_t)$.

例 5.7. 设 $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 7& 10\\ 2& 5& 8& 11\\ 3& 6& 9& 12\end{array}\right].$ 则 $A(1|2)=\left[\begin{array}{ccc}2& 8& 11\\ 3& 9& 12\end{array}\right]$, $A(2,3|4)=[1,4,7]$, 且 $A(3,1|4,2)=A(1,3|2,4)=[2,8]$.

设 $i$, $j$ 为二个整数. 定义$$\begin{array}{r}\rho (i,j)=\{\begin{array}{ll}0,& i<j;\\ 1,& i⩾j.\end{array}\end{array}$$不难验证, 若 $i$ 不等于 $i_1$, $\dots$, $i_s$ 的任何一个, 且 $j$ 不等于 $j_1$, $\dots$, $j_t$ 的任何一个, 则 $A$ 的 $(i,j)$-元是 $A(i_1,\dots ,i_s|j_1,\dots ,j_t)$ 的 $(i-\rho (i,i_1)-\cdots -\rho (i,i_s),j-\rho (j,j_1)-\cdots -\rho (j,j_t))$-元.

前面, 我们减地定义了子阵 (及记号), 因为我们去除若干行若干列. 有时, 考虑从原阵取出若干行若干列作一个阵是更方便的, 所以, 我们也加地定义子阵 (及记号).

定义 5.8 (子阵, 2). 设 $A$ 为 $m\times n$ 阵. 设 $i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_s$ 是不超过 $m$ 的正整数, 且互不相同. 设 $j_1$, $j_2$, $\dots$, $j_t$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且互不相同. 那么, 我们记取 $A$ 的行 $i_1$, $\dots$, $i_s$ 与列 $j_1$, $\dots$, $j_t$ 交叉处的元按原来的次序排成的 $s\times t$ 阵为$$\begin{array}{r}A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,i_2,\dots ,i_s}{j_1,j_2,\dots ,j_t}\right).\end{array}$$

例 5.9. 设 $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 7& 10\\ 2& 5& 8& 11\\ 3& 6& 9& 12\end{array}\right].$ 则 $A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}\right)=[8]$, $A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1,3}\right)=[1,7]$, 且 $A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3,1}{4,2}\right)=A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1,3}{2,4}\right)=\left[\begin{array}{cc}4& 10\\ 6& 12\end{array}\right]$. 注意定义里的 “原来的次序”, 故 $A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3,1}{4,2}\right)$ 不等于 $\left[\begin{array}{cc}[A{]}_{3,4}& [A{]}_{3,2}\\ [A{]}_{1,4}& [A{]}_{1,2}\end{array}\right]$, 即 $\left[\begin{array}{cc}12& 6\\ 10& 4\end{array}\right]$.

设 $A$ 为 $m\times n$ 阵. 设 $1⩽i_1<i_2<\cdots <i_s⩽m$, 且 $1⩽j_1<j_2<\cdots <j_t⩽n$. 不难看出, 对任何不超过 $s$ 的正整数 $p$ 与任何不超过 $t$ 的正整数 $q$,$$\begin{array}{r}{\left[A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,i_2,\dots ,i_s}{j_1,j_2,\dots ,j_t}\right)\right]}_{p,q}=[A{]}_{i_p,j_q}.\end{array}$$

现在, 我们正式进入数阵的讨论. 从现在开始, 阵都是数阵.

我说过, 我们会用数的运算定义阵的运算. 我们先从加法、减法、数乘开始. 我们会在后面讨论阵的较复杂的运算.

定义 5.10 (阵的加法). 设 $A$, $B$ 都是 $m\times n$ 阵. 定义 $A+B$ 也是一个 $m\times n$ 阵, 其中, 对任何不超过 $m$ 的正整数 $i$ 与任何不超过 $n$ 的正整数 $j$, $$\begin{array}{r}[A+B{]}_{i,j}=[A{]}_{i,j}+[B{]}_{i,j}.\end{array}$$(通俗地, (同尺寸的) 阵的加法就是相应位置的元的加法.)

例 5.11. 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right],$ $B=\left[\begin{array}{ccc}7& 8& 9\\ 10& 11& 12\end{array}\right].$ 则$$\begin{array}{rl}A+B=& \left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}7& 8& 9\\ 10& 11& 12\end{array}\right]\\ =& \left[\begin{array}{ccc}1+7& 3+8& 5+9\\ 2+10& 4+11& 6+12\end{array}\right]\\ =& \left[\begin{array}{ccc}8& 11& 14\\ 12& 15& 18\end{array}\right].\end{array}$$

不难验证, 阵的加法有结合律与交换律. 具体地, 设 $A$, $B$, $C$ 是三个同尺寸的阵. 那么, $(A+B)+C=A+(B+C)$, 且 $A+B=B+A$.

我验证结合律; 我留交换律为您的习题.

证. 设 $A$, $B$, $C$ 的尺寸都是 $m\times n$. 那么, $A+B$ 的尺寸也是 $m\times n$, 故 $(A+B)+C$ 的尺寸也是 $m\times n$. 同理, $B+C$ 的尺寸也是 $m\times n$, 故 $A+(B+C)$ 的尺寸也是 $m\times n$. 现在, 比较元是否相等: $$\begin{array}{rl}[(A+B)+C{]}_{i,j}=& [A+B{]}_{i,j}+[C{]}_{i,j}\\ =& ([A{]}_{i,j}+[B{]}_{i,j})+[C{]}_{i,j}\\ =& [A{]}_{i,j}+([B{]}_{i,j}+[C{]}_{i,j})\\ =& [A{]}_{i,j}+[B+C{]}_{i,j}\\ =& [A+(B+C){]}_{i,j}.\end{array}$$注意, 我用到了数的加法的结合律.

证毕.

因为结合律, 我们可简单地写 $(A+B)+C$ 或 $A+(B+C)$ 为 $A+B+C$.

我们可用加法定义减法. 设 $A$, $B$ 为 $m\times n$ 阵. 作一个 $m\times n$ 阵 $0$ (即, 零阵), 其中 $[0{]}_{i,j}=0$. 不难算出, $B+0=0+B=B$ (我留它为您的习题). 再作一个 $m\times n$ 阵 $-B$, 其中 $[-B{]}_{i,j}=-[B{]}_{i,j}$. 不难算出, $B+(-B)=(-B)+B=0$ (我留它为您的习题). 我们说, 这么作出的 $-B$ 是 $B$ 的相反阵. 我们知道, 数 I 减数 II, 就是数 I 加数 II 的相反数. 所以, 我们定义, $A-B=A+(-B)$. 于是$$\begin{array}{rl}[A-B{]}_{i,j}=& [A+(-B){]}_{i,j}\\ =& [A{]}_{i,j}+[-B{]}_{i,j}\\ =& [A{]}_{i,j}+(-[B{]}_{i,j})\\ =& [A{]}_{i,j}-[B{]}_{i,j}.\end{array}$$(通俗地, (同尺寸的) 阵的减法就是相应位置的元的减法.)

我们知道, 二个数 $x$, $y$ 相等, 相当于 $x-y=0$. 由此可证: 二个同尺寸的阵 $A$, $B$ 相等, 相当于 $A-B=0$.

我以数乘运算结束本节.

定义 5.12 (阵的数乘). 设 $A$ 是一个 $m\times n$ 阵. 设 $k$ 是一个数. 定义 $kA$ 也是一个 $m\times n$ 阵, 其中, 对任何不超过 $m$ 的正整数 $i$ 与任何不超过 $n$ 的正整数 $j$, $$\begin{array}{r}[kA{]}_{i,j}=k[A{]}_{i,j}.\end{array}$$(通俗地, 阵的数乘就是以一个数乘阵的每一个元.)

例 5.13. 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$. 设 $k=7$. 则$$\begin{array}{r}kA=7\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}7\cdot 1& 7\cdot 3& 7\cdot 5\\ 7\cdot 2& 7\cdot 4& 7\cdot 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}7& 21& 35\\ 14& 28& 42\end{array}\right].\end{array}$$

设 $k$, $\ell$ 是数. 设 $A$, $B$ 是二个同尺寸的阵. 不难验证:$$\begin{array}{rl}& 1A=A;\\ & k(\ell A)=(k\ell )A;\\ & (k+\ell )A=kA+\ell A;\\ & k(A+B)=kA+kB.\end{array}$$证明式 1 时, 要用到 $1x=x$ ($x$ 是数); 证明式 2 时, 要用到数的乘法的结合律; 证明式 3 与式 4 时, 要用到数的乘法与加法的分配律.

我验证式 2 与式 4; 您验证其他的式.

证. 设 $k$, $\ell$ 是数. 设 $A$, $B$ 的尺寸都是 $m\times n$.

式 2: 首先, 因为 $A$ 是 $m\times n$ 阵, 故 $\ell A$ 是 $m\times n$ 阵, 从而 $k(\ell A)$ 也是 $m\times n$ 阵. 其次, 因为 $A$ 是 $m\times n$ 阵, 故 $(k\ell )A$ 是 $m\times n$ 阵. 现在, 比较元是否相等: $$\begin{array}{r}[k(\ell A){]}_{i,j}=k[\ell A{]}_{i,j}=k(\ell [A{]}_{i,j})=(k\ell )[A{]}_{i,j}=[(k\ell )A{]}_{i,j}.\end{array}$$

式 4: 首先, 因为 $A$, $B$ 是 $m\times n$ 阵, 故 $A+B$ 是 $m\times n$ 阵, 从而 $k(A+B)$ 也是 $m\times n$ 阵. 其次, 因为 $A$, $B$ 是 $m\times n$ 阵, 故 $kA$, $kB$ 是 $m\times n$ 阵, 从而 $kA+kB$ 也是 $m\times n$ 阵. 现在, 比较元是否相等: $$\begin{array}{rl}[k(A+B){]}_{i,j}=& k[A+B{]}_{i,j}\\ =& k([A{]}_{i,j}+[B{]}_{i,j})\\ =& k[A{]}_{i,j}+k[B{]}_{i,j}\\ =& [kA{]}_{i,j}+[kB{]}_{i,j}\\ =& [kA+kB{]}_{i,j}.\end{array}$$

证毕.

最后, 我提几件小事.

(1) 对任何阵 $A$, $0A=0$. 这里, 等式左侧的 $0$ 是数字 $0$, 而等式右侧的 $0$ 是元全为 $0$ 的零阵 (当然, 它与 $A$ 的尺寸相等).

(2) 对任何数 $k$, $k0=0$. 这里, 等式左右二侧的 $0$ 都是零阵.

(3) 设 $k$, $\ell$ 是数. 设 $A$, $B$ 是二个同尺寸的阵. 则$$\begin{array}{rl}& (k-\ell )A=kA-\ell A,\\ & k(A-B)=kA-kB.\end{array}$$

(4) 对任何阵 $A$, $(-1)A=-A$.