C.37. 阵的积与倍加 (续)

本节, 我们进一步地讨论阵的积与 (列的) 倍加的关系.

回想, 我们有如下结论.

定理 C.37.1. 是一个  阵. 利用若干次 (列的) 倍加, 我们可变 为一个  , 使当 时, .

在本节, 我们设 . 于是, 通俗地, 对任何  我们总可作列的倍加, 变 其中, 表示  零阵 (若 ) 或 “无” (若 ).

, , , 都不是 , 则我们可用列的倍加, 进一步地变 具体地,  阵, 且

注意, . 我们加 的列  倍于列 , 列  倍于列 , …… 列  倍于列 , 得然后, 注意, . 我们加列  倍于列 , 列  倍于列 , …… 列  倍于列 , 得…… 最后, 我们得

进一步地, 我们还可变 具体地,  阵, 且

我们加列  倍于列 , 有我们加列  于列 , 有我们加列  倍于列 , 有我们加列  倍于列 , 有为方便, 记 . 我们加列  倍于列 , 有我们加列  于列 , 有我们加列  倍于列 , 有我们加列  倍于列 , 有…… 最后, 我们得

综上, 我们有

定理 C.37.2.. 设 是形如(C.37.1) 阵, 其中, 表示  零阵 (若 ) 或 “无” (若 ), 且 , , , 都不是 ; 具体地, 当 时, , 且 (, , ). 则我们可用列的倍加, 变  (C.37.2)具体地, 且进一步地, 我们可用列的倍加, 变  (C.37.3)具体地,

自然地, 我们问, 给定   (其中, ), 我们能否变 为形如式 (C.37.1) 的阵, 且 , , , 都不是 . 若这是可能的, 则我们也能变 为形如式 (C.37.2) 的阵, 且我们也能变 为形如式 (C.37.3) 的阵.

定理 C.37.3. 级阵, 且 . 则我们可用列的倍加, 变  级阵 , 使

证. 首先, 我们可变  级阵注意, 倍加不改变行列式. 则 . 因为 , 我们知道, , , , 都不是 . 则由前面的讨论 (), 我们可用列的倍加, 变  级阵 , 使证完.

定理 C.37.4.. 设   有一个行列式不为  级子阵其中, . 则我们可用列的倍加, 变  , 使

证., 则 . 我们可用上个定理.

以下, 我们设 . 从 , , , 去除 , , , 后, 还剩  个数. 我们从小到大地叫这  个数为 , .

首先, 我们说明, 我们能用列的倍加, 变  , 使. 考虑方程组因为 , 由 Cramer 公式, 此方程组有解. 则存在数 , , , , 使于是, 若我们加列  倍于列 , 加列  倍于列 , …… 加列  倍于列 , 则列  的元全为 . 则我们可用列的倍加, 变 .

然后, 我们用列的倍加, 变  , 使, 则 , , , 一定是 , , , . 则 已形如 .

以下, 我们设 . 回想, 三次列的倍加 “几乎” 可交换阵的二列: 我们说明, 我们可用列的倍加, 使 的列  到列  的位置.

, 我们不变, 取 .

, 则 的列  一定是 . 那么, 我们用三次倍加, 变  , 其中, 注意, 我们其实交换了列  与列 .

综上, 我们可用倍加, 变 , 使(注意, 可以为 .)

, 我们不变, 取 .

, 则 的列  一定是 : 若 , 则 , 的列  都是 ; 若 , 则在列的交换后, 的列  的列 , 即 . 那么, 我们用三次倍加, 变  , 其中, 注意, 我们其实交换了列  与列 .

综上, 我们也可用倍加, 变 , 使(注意, 可以为 .)

……

最后, 我们知道, 我们可作若干次倍加, 变 .

注意, 的前 列作成 , 且 的后 列都是 . 因为 , 由上个定理, 我们可用列的倍加, 变  级阵 , 使那么, 我们也可用列的倍加, 变  其中,  零阵. 则

证完.

最后, 我们看一个例.

例 C.37.5. 我们知道, 若  级阵 的行列式不为 , 则我们可用列的倍加, 变  级阵 , 使当 时, . 不过, 若 , 会如何? 我们说, 存在不能以列的倍加被变为这样的 .

. 设 是这样的  级阵: 的列  与列  相同, 故 . 我们说明, 我们不能用列的倍加, 变  级阵 , 使当 时, .

用反证法. 设我们能用列的倍加, 变  级阵 , 使当 时, . 那么, 存在若干个形如 ( 是一个数, , 是不超过 的正整数, 且 ) 的阵 , , , , 使. 则 , 且 . 不过, 另一方面, 于是, 当 时, , 且当 时, . 则 的行  的元全为 . 这是矛盾.

注意, . 我们可类似地证, 我们不能用行的倍加, 变  级阵 , 使当 时, .

不过, 我们能用列的倍加与行的倍加, 变  级阵 , 使当 时, . 比如, 我们可验证, . 则, 我们可验证, 再记 . 则, 我们可验证,