本节, 我们进一步地讨论阵的积与 (列的) 倍加的关系.
回想, 我们有如下结论.
设 A 是一个 m×n 阵. 利用若干次 (列的) 倍加, 我们可变 A 为一个 m×n 阵 B, 使当 i<j 时, [B]i,j=0.
在本节, 我们设 m⩽n. 于是, 通俗地, 对任何 m×n 阵A=⎣⎡[A]1,1[A]2,1⋮[A]m−1,1[A]m,1[A]1,2[A]2,2⋮[A]m−1,2[A]m,2⋯⋯⋯⋯[A]1,m−1[A]2,m−1⋮[A]m−1,m−1[A]m,m−1[A]1,m[A]2,m⋮[A]m−1,m[A]m,m⋯⋯⋯⋯[A]1,n[A]2,n⋮[A]m−1,n[A]m,n⎦⎤,我们总可作列的倍加, 变 A 为B=⎣⎡[B]1,1[B]2,1⋮[B]m−1,1[B]m,10[B]2,2⋮[B]m−1,2[B]m,2⋯⋯⋱⋯⋯00⋮[B]m−1,m−1[B]m,m−100⋮0[B]m,mO⎦⎤,其中, O 表示 m×(n−m) 零阵 (若 n>m) 或 “无” (若 n=m).
若 [B]1,1, [B]2,2, …, [B]m,m 都不是 0, 则我们可用列的倍加, 进一步地变 B 为D=⎣⎡[B]1,10⋮000[B]2,2⋮00⋯⋯⋱⋯⋯00⋮[B]m−1,m−1000⋮0[B]m,mO⎦⎤;具体地, D 是 m×n 阵, 且[D]i,j={[B]i,i,0,i=j;其他.
注意, [B]m,m=0. 我们加 B 的列 m 的 −[B]m,m−1/[B]m,m 倍于列 m−1, 列 m 的 −[B]m,m−2/[B]m,m 倍于列 m−2, …… 列 m 的 −[B]m,1/[B]m,m 倍于列 1, 得⎣⎡[B]1,1[B]2,1⋮[B]m−2,1[B]m−1,100[B]2,2⋮[B]m−2,2[B]m−1,20⋯⋯⋱⋯⋯⋯00⋮[B]m−2,m−2[B]m−1,m−2000⋮0[B]m−1,m−1000⋮00[B]m,mO⎦⎤.然后, 注意, [B]m−1,m−1=0. 我们加列 m−1 的 −[B]m−1,m−2/[B]m−1,m−1 倍于列 m−2, 列 m−1 的 −[B]m−1,m−3/[B]m−1,m−1 倍于列 m−3, …… 列 m−1 的 −[B]m−1,1/[B]m−1,m−1 倍于列 1, 得⎣⎡[B]1,1[B]2,1⋮[B]m−2,1000[B]2,2⋮[B]m−2,200⋯⋯⋱⋯⋯⋯00⋮[B]m−2,m−20000⋮0[B]m−1,m−1000⋮00[B]m,mO⎦⎤.…… 最后, 我们得⎣⎡[B]1,10⋮000[B]2,2⋮00⋯⋯⋱⋯⋯00⋮[B]m−1,m−1000⋮0[B]m,mO⎦⎤.
进一步地, 我们还可变 D 为M=⎣⎡[B]1,1[B]2,2…[B]m,m0⋮0001⋮00⋯⋯⋱⋯⋯00⋮1000⋮01O⎦⎤;具体地, M 是 m×n 阵, 且[M]i,j={[B]1,1[B]2,2…[B]m,m,[In]i,j,i=j=1;其他.
我们加列 m 的 (1−[B]m,m)/[B]m,m 倍于列 m−1, 有⎣⎡[B]1,10⋮0000[B]2,2⋮000⋯⋯⋱⋯⋯⋯00⋮[B]m−2,m−20000⋮0[B]m−1,m−11−[B]m,m00⋮00[B]m,mO⎦⎤.我们加列 m−1 于列 m, 有⎣⎡[B]1,10⋮0000[B]2,2⋮000⋯⋯⋱⋯⋯⋯00⋮[B]m−2,m−20000⋮0[B]m−1,m−11−[B]m,m00⋮0[B]m−1,m−11O⎦⎤.我们加列 m 的 [B]m,m−1 倍于列 m−1, 有⎣⎡[B]1,10⋮0000[B]2,2⋮000⋯⋯⋱⋯⋯⋯00⋮[B]m−2,m−20000⋮0[B]m−1,m−1[B]m,m000⋮0[B]m−1,m−11O⎦⎤.我们加列 m−1 的 −1/[B]m,m 倍于列 m, 有⎣⎡[B]1,10⋮0000[B]2,2⋮000⋯⋯⋱⋯⋯⋯00⋮[B]m−2,m−20000⋮0[B]m−1,m−1[B]m,m000⋮001O⎦⎤.为方便, 记 d2=[B]m−1,m−1[B]m,m. 我们加列 m−1 的 (1−d2)/d2 倍于列 m−2, 有⎣⎡[B]1,10⋮0000[B]2,2⋮000⋯⋯⋱⋯⋯⋯00⋮[B]m−2,m−21−d2000⋮0d2000⋮001O⎦⎤.我们加列 m−2 于列 m−1, 有⎣⎡[B]1,10⋮0000[B]2,2⋮000⋯⋯⋱⋯⋯⋯00⋮[B]m−2,m−21−d2000⋮[B]m−2,m−21000⋮001O⎦⎤.我们加列 m−1 的 d2−1 倍于列 m−2, 有⎣⎡[B]1,10⋮0000[B]2,2⋮000⋯⋯⋱⋯⋯⋯00⋮[B]m−2,m−2d20000⋮[B]m−2,m−21000⋮001O⎦⎤.我们加列 m−2 的 −1/d2 倍于列 m−1, 有⎣⎡[B]1,10⋮0000[B]2,2⋮000⋯⋯⋱⋯⋯⋯00⋮[B]m−2,m−2[B]m−1,m−1[B]m,m0000⋮01000⋮001O⎦⎤.…… 最后, 我们得⎣⎡[B]1,1[B]2,2…[B]m,m0⋮0001⋮00⋯⋯⋱⋯⋯00⋮1000⋮01O⎦⎤.
综上, 我们有
设 m⩽n. 设 B 是形如⎣⎡[B]1,1[B]2,1⋮[B]m−1,1[B]m,10[B]2,2⋮[B]m−1,2[B]m,2⋯⋯⋱⋯⋯00⋮[B]m−1,m−1[B]m,m−100⋮0[B]m,mO⎦⎤(C.37.1)的 m×n 阵, 其中, O 表示 m×(n−m) 零阵 (若 n>m) 或 “无” (若 n=m), 且 [B]1,1, [B]2,2, …, [B]m,m 都不是 0; 具体地, 当 i<j 时, [B]i,j=0, 且 [B]i,i=0 (i=1, …, m). 则我们可用列的倍加, 变 B 为 m×n 阵D=⎣⎡[B]1,10⋮000[B]2,2⋮00⋯⋯⋱⋯⋯00⋮[B]m−1,m−1000⋮0[B]m,mO⎦⎤;(C.37.2)具体地, [D]i,j={[B]i,i,0,i=j;其他.且进一步地, 我们可用列的倍加, 变 D 为 m×n 阵M=⎣⎡[B]1,1[B]2,2…[B]m,m0⋮0001⋮00⋯⋯⋱⋯⋯00⋮1000⋮01O⎦⎤;(C.37.3)具体地, [M]i,j={[B]1,1[B]2,2…[B]m,m,[In]i,j,i=j=1;其他.
自然地, 我们问, 给定 m×n 阵 A (其中, m⩽n), 我们能否变 A 为形如式 (C.37.1) 的阵, 且 [B]1,1, [B]2,2, …, [B]m,m 都不是 0. 若这是可能的, 则我们也能变 A 为形如式 (C.37.2) 的阵, 且我们也能变 A 为形如式 (C.37.3) 的阵.
设 A 是 m 级阵, 且 det(A)=0. 则我们可用列的倍加, 变 A 为 m 级阵 M, 使[M]i,j={det(A),[Im]i,j,i=j=1;其他.
证. 首先, 我们可变 A 为 m 级阵B=⎣⎡[B]1,1[B]2,1⋮[B]m−1,1[B]m,10[B]2,2⋮[B]m−1,2[B]m,2⋯⋯⋱⋯⋯00⋮[B]m−1,m−1[B]m,m−100⋮0[B]m,m⎦⎤.注意, 倍加不改变行列式. 则 det(A)=det(B)=[B]1,1[B]2,2…[B]m,m. 因为 det(A)=0, 我们知道, [B]1,1, [B]2,2, …, [B]m,m 都不是 0. 则由前面的讨论 (n=m), 我们可用列的倍加, 变 A 为 m 级阵 M, 使[M]i,j={det(A),[Im]i,j,i=j=1;其他.证完.
设 m⩽n. 设 m×n 阵 A 有一个行列式不为 0 的 m 级子阵K=A(j1,j2,…,jm1,2,…,m),其中, 1⩽j1<j2<⋯<jm⩽n. 则我们可用列的倍加, 变 A 为 m×n 阵 M, 使[M]i,j={det(K),[In]i,j,i=j=1;其他.
证. 若 n=m, 则 K=A. 我们可用上个定理.
以下, 我们设 n>m. 从 1, 2, …, n 去除 j1, j2, …, jm 后, 还剩 n−m 个数. 我们从小到大地叫这 n−m 个数为 jm+1, jn.
首先, 我们说明, 我们能用列的倍加, 变 A 为 m×n 阵 A1, 使[A1]i,jv={[A]i,jv,0,v⩽m;v>m.设 v>m. 考虑方程组⎩⎨⎧[A]1,j1x1+[A]1,j2x2+⋯+[A]1,jmxm[A]2,j1x1+[A]2,j2x2+⋯+[A]2,jmxm[A]m,j1x1+[A]m,j2x2+⋯+[A]m,jmxm=[A]1,jv,=[A]2,jv,…,=[A]m,jv.因为 det(K)=0, 由 Cramer 公式, 此方程组有解. 则存在数 cj1,jv, cj2,jv, …, cjm,jv, 使[A]1,j1cj1,jv+[A]1,j2cj2,jv+⋯+[A]1,jmcjm,jv[A]2,j1cj1,jv+[A]2,j2cj2,jv+⋯+[A]2,jmcjm,jv[A]m,j1cj1,jv+[A]m,j2cj2,jv+⋯+[A]m,jmcjm,jv=[A]1,jv,=[A]2,jv,…,=[A]m,jv.于是, 若我们加列 j1 的 −cj1,jv 倍于列 jv, 加列 j2 的 −cj2,jv 倍于列 jv, …… 加列 jm 的 −cjm,jv 倍于列 jv, 则列 jv 的元全为 0. 则我们可用列的倍加, 变 A 为 A1.
然后, 我们用列的倍加, 变 A1 为 m×n 阵 A2, 使[A2]i,v={[A1]i,jv=[A]i,jv,0,v⩽m;v>m.若 jm=m, 则 j1, j2, …, jm 一定是 1, 2, …, m. 则 A1 已形如 A2.
以下, 我们设 jm>m. 回想, 三次列的倍加 “几乎” 可交换阵的二列: (x,y)→→→(x+1y,y)=(x+y,y)(x+y,y+(−1)(x+y))=(x+y,−x)(x+y+1(−x),−x)=(y,−x),且(x,y)→→→(x,y+1x)=(x,y+x)(x+(−1)(y+x),y+x)=(−y,y+x)(−y,y+x+1(−y))=(−y,x).我们说明, 我们可用列的倍加, 使 A1 的列 j1 到列 1 的位置.
若 j1=1, 我们不变, 取 P1 为 A1.
若 j1>1, 则 A1 的列 1 一定是 0. 那么, 我们用三次倍加, 变 A1 为 m×n 阵 P1, 其中, [P1]i,t=⎩⎨⎧[A1]i,j1,−[A1]i,1=0,[A1]i,t,t=1;t=j1;其他.注意, 我们其实交换了列 j1 与列 1.
综上, 我们可用倍加, 变 A1 为 P1, 使[P1]i,t=⎩⎨⎧[A1]i,j1,[A1]i,1,[A1]i,t,t=1;t=j1;其他.(注意, j1 可以为 1.)
若 j2=2, 我们不变, 取 P2 为 P1.
若 j2>2, 则 P1 的列 2 一定是 0: 若 j1>2, 则 A1, P1 的列 2 都是 0; 若 j1=2, 则在列的交换后, P1 的列 2 是 A1 的列 1, 即 0. 那么, 我们用三次倍加, 变 P1 为 m×n 阵 P2, 其中, [P2]i,t=⎩⎨⎧[P1]i,j2,−[P1]i,2=0,[P1]i,t,t=2;t=j2;其他.注意, 我们其实交换了列 j2 与列 2.
综上, 我们也可用倍加, 变 P1 为 P2, 使[P2]i,t=⎩⎨⎧[P1]i,j2,[P1]i,2,[P1]i,t,t=2;t=j2;其他.(注意, j2 可以为 2.)
……
最后, 我们知道, 我们可作若干次倍加, 变 A 为 A1.
注意,
A1 的前
m 列作成
K, 且
A1 的后
n−m 列都是
0. 因为
det(K)=0, 由上个定理, 我们可用列的倍加, 变
K 为
m 级阵
N, 使
[N]i,j={det(K),[Im]i,j,i=j=1;其他.那么, 我们也可用列的倍加, 变
A1 为
m×n 阵
M=[N0],其中,
0 是
m×(n−m) 零阵. 则
[M]i,j==⎩⎨⎧[N]1,1=det(K),[N]i,j=[Im]i,j=[In]i,j,0=[In]i,j,i=j=1;j⩽m, 且 (i,j)=(1,1);j>m.{det(K),[In]i,j,i=j=1;其他.最后, 我们看一个例.
我们知道, 若 n 级阵 A 的行列式不为 0, 则我们可用列的倍加, 变 A 为 n 级阵 D, 使当 i=j 时, [D]i,j=0. 不过, 若 det(A)=0, 会如何? 我们说, 存在不能以列的倍加被变为这样的 D 的 A.
设 n⩾3. 设 A 是这样的 n 级阵: [A]i,j={1,0,(i,j)=(1,2) 或 (1,3) 或 (2,1) 或 (3,1);其他.A 的列 2 与列 3 相同, 故 det(A)=0. 我们说明, 我们不能用列的倍加, 变 A 为 n 级阵 D, 使当 i=j 时, [D]i,j=0.
用反证法. 设我们能用列的倍加, 变 A 为 n 级阵 D, 使当 i=j 时, [D]i,j=0. 那么, 存在若干个形如 E(n;p,q;s) (s 是一个数, p, q 是不超过 n 的正整数, 且 p=q) 的阵 E1, E2, …, Eu, 使D=(((AE1)E2)…)Eu=A(E1E2…Eu).记 P=E1E2…Eu. 则 D=AP, 且 det(P)=1. 不过, 另一方面, [D]i,j=====[AP]i,jℓ=1∑n[A]i,ℓ[P]ℓ,jℓ=1∑3[A]i,ℓ[P]ℓ,j+3<ℓ⩽n∑[A]i,ℓ[P]ℓ,j[A]i,1[P]1,j+[A]i,2[P]2,j+[A]i,3[P]3,j+3<ℓ⩽n∑0[P]ℓ,j⎩⎨⎧[P]2,j+[P]3,j,[P]1,j,0,i=1;i=2 或 3;其他.于是, 当 j=2 时, [P]1,j=[D]2,j=0, 且当 j=2 时, [P]1,j=[D]3,2=0. 则 P 的行 1 的元全为 0. 这是矛盾.
注意, A=AT. 我们可类似地证, 我们不能用行的倍加, 变 A 为 n 级阵 D′, 使当 i=j 时, [D′]i,j=0.
不过, 我们能用列的倍加与行的倍加, 变 A 为 n 级阵 D′′, 使当 i=j 时, [D′′]i,j=0. 比如, 我们可验证, [E(n;3,2;−1)AE(n;2,3;−1)]i,j={1,0,(i,j)=(1,2) 或 (2,1);其他.记 A1=E(n;3,2;−1)AE(n;2,3;−1). 则, 我们可验证, [E(n;1,2;1/2)A1E(n;2,1;1/2)]i,j={1,0,(i,j)=(1,1) 或 (1,2) 或 (2,1);其他.再记 A2=E(n;1,2;1/2)A1E(n;2,1;1/2). 则, 我们可验证, [E(n;2,1;−1)A2E(n;1,2;−1)]i,j=⎩⎨⎧1,−1,0,(i,j)=(1,1);(i,j)=(2,2);其他.