3. −1 的整数次方

我想讲 $-1$ 的整数次方. 在证明行列式的公式时, 我们会常用其性质.

设 $i$, $j$ 为整数. 首先, 我们知道,$$\begin{array}{r}(-1{)}^{i+j}=(-1{)}^i(-1{)}^j.\end{array}$$因为 $(\pm 1)\cdot (\pm 1)=1$, 故$$\begin{array}{r}(-1{)}^i=(-1{)}^{-i}.\end{array}$$所以$$\begin{array}{r}(-1{)}^{i+j}=(-1{)}^i(-1{)}^j=(-1{)}^i(-1{)}^{-j}=(-1{)}^{i-j}.\end{array}$$并且$$\begin{array}{r}(-1{)}^{i-j}=(-1{)}^{-(i-j)}=(-1{)}^{-i+j}=(-1{)}^{-i-j}.\end{array}$$值得提,$$\begin{array}{r}(-1{)}^{2j}=1.\end{array}$$所以$$\begin{array}{r}(-1{)}^{i\pm 2j}=(-1{)}^i.\end{array}$$

我们知道, 任给一个偶数 $n$, 有一个整数 $k$ 使 $n=2k$ (这是定义); 任给一个奇数 (也就是, 不是偶数的整数) $n^{\prime }$, 有一个整数 $k^{\prime }$ 使 $n^{\prime }=2k^{\prime }+1$. 所以, 若整数 $m$ 是偶数, 则 $(-1{)}^m=1$; 若整数 $m$ 是奇数, 则 $(-1{)}^m=-1$. 由此可知, 若整数 $m$ 适合 $(-1{)}^m=1$, 则 $m$ 是偶数; 若整数 $m$ 适合 $(-1{)}^m=-1$, 则 $m$ 是奇数.

最后, 我想说, 对任何的整数 $n$, $n(n-1)$ 是一个偶数. 由此可见, $(-1{)}^n=(-1{)}^{n^2}$.