1. Hopf 流形

1.1定义

回忆度量空间之间的压缩映射 $f:X\to Y$ 是指存在 $c\in (0,1)$ 使得对任意 $x,y\in X$$$d_Y(f(x),f(y))\le c{d}_X(x,y)$$这里 $d_X,d_Y$ 是距离函数.

设 $W={\mathbb{C}}^n\backslash \{0\},n\ge 2$. 再设 $f:({\mathbb{C}}^n,0)\to ({\mathbb{C}}^n,0)$ 是保持原点的双全纯压缩映射, 我们定义 $W$ 上的 $\mathbb{Z}$-作用为 $n.x=f^n(x)$, 其显然是自由作用. 因为 $f$ 是压缩映射, 则对任意紧集 $K\subset {\mathbb{C}}^n$ 和任意 $0$ 的邻域 $V$, 都存在一个正整数 $k$ 使得对于任何正整数 $n>k$ 有 $f^n(K)\subset V$. 因此对于任意紧子集 $K\subset W$, 只有有限个 $n\in \mathbb{Z}$ 使得 $n.K\cap K\ne \varnothing$. 这样根据 [Bourbaki, III.p34, Remarque], $\mathbb{Z}$ 紧和作用在 $W$ 上. 若 $C$ 是 $\mathbb{Z}$-作用的图像, 即 $C=\{(x,n.x)\mid x\in W,n\in \mathbb{Z}\}$ 根据 [Bourbaki, III.p31, Prop.6], 映射 $C\to \mathbb{Z},(x,n.x)\mapsto n$ 是连续映射. 于是根据 [Dieck, Proposition 14.1.12] 和 [Varadarajan, Corollary 2.9.12], $W/\mathbb{Z}$ 是复流形, 且 $W\to W/\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$-主覆叠空间. 于是我们定义

定义 1.1.1. $W/\mathbb{Z}$ 称为 $n$ 维 Hopf 流形. 二维时也称 Hopf 曲面.