超几何函数

超几何函数是一种由超几何级数定义的特殊函数, 它可以用来表示很多种类的函数.

1定义

定义 1.1 (超几何方程). 超几何方程定义为$$z(1-z)\frac{{\mathrm{d}}^{2}w}{\mathrm{d}{z}^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}-abw=0$$容易求出其在 $0$ 邻域的级数解: $$\begin{array}{rl}{w}_1& =\sum _{n\ge 0}\frac{(a{)}_n(b{)}_n}{n!(c{)}_n}{z}^n\\ w_2& =\sum _{n\ge 0}\frac{(a-c+1{)}_n(b-c+1{)}_n}{n!(2-c{)}_n}{z}^{n+1-c}\end{array}$$其中 $(\cdot {)}_n$ 是 Pochhammer 符号, 定义为 $(x{)}_n=\Gamma (n+x)/\Gamma (x)$.

定义 1.2 (超几何函数). 我们将超几何方程第一个解 $w_1$ 定义为超几何函数 ${{}_2\mathrm{F}}_1(a,b;c;z)$, 在级数的收敛域内有$${{}_2\mathrm{F}}_1(a,b;c;z)=\sum _{n\ge 0}\frac{(a{)}_n(b{)}_n}{n!(c{)}_n}{z}^n$$那么此时超几何方程的两个解可以分别被表示为$$\begin{array}{rl}{w}_1& ={{}_2\mathrm{F}}_1(a,b;c;z)\\ w_2& =z^{1-c}{{}_2\mathrm{F}}_1(a-c+1,b-c+1;2-c;z)\end{array}$$

2例子

可以用超几何函数表示许多特殊函数. 下面列举了一些例子, 它们有些是初等函数, 有些不是.

•	$\frac{\log (1+z)}{z}={{}_2\mathrm{F}}_1(1,1;2;-z);$

•	$\frac{1}{2z}\log \left(\frac{1+z}{1-z}\right)={{}_2\mathrm{F}}_1\left(\frac{1}{2},1;\frac{3}{2};z^2\right);$

•	$\frac{\arcsin z}{z}={{}_2\mathrm{F}}_1\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2};z^2\right);$

•	$\frac{\arctan z}{z}={{}_2\mathrm{F}}_1\left(\frac{1}{2},1;\frac{3}{2};-z^2\right);$

•	$K(k)=\frac{\pi }{2}{{}_2\mathrm{F}}_1\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,k^2\right);$

•	$E(k)=\frac{\pi }{2}{{}_2\mathrm{F}}_1\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1,k^2\right).$

其中 $K(k),E(k)$ 分别表示第一、第二类完全椭圆积分:

$$K(k)={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2{t}^2)}},E(k)={\int }_0^1\sqrt{\frac{1-k^2{t}^2}{1-t^2}}\mathrm{d}t.$$

3性质

导数

通过逐项求导可以计算出超几何函数的导数: $$\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{z}^n}{{}_2\mathrm{F}}_1(a,b;c;z)=\frac{(a{)}_n(b{)}_n}{(c{)}_n}{{}_2\mathrm{F}}_1(a+n,b+n;c+n;z).$$

解析延拓

通过计算, 可以得出超几何级数的收敛半径是 $1$. 如果 $|z|\ge 1$, 仍可以通过解析延拓得到超几何函数的值, 这需避开支点 $0,1$. 具体公式为: $${{}_2\mathrm{F}}_1(a,b;c;z)=\frac{\Gamma (b-a)\Gamma (c)(-z{)}^{-a}}{\Gamma (b)\Gamma (c-a)}\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(a{)}_k(a-c+1{)}_k{z}^{-k}}{k!(a-b+1{)}_k}+\frac{\Gamma (a-b)\Gamma (c)(-z{)}^{-b}}{\Gamma (a)\Gamma (c-b)}\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(b{)}_k(b-c+1{)}_k{z}^{-k}}{k!(-a+b+1{)}_k},$$其中 $|z|\ge 1,a-b\notin \mathbb{Z}$.

积分表示

超几何函数可以用 Euler 积分表示.

定理 3.1. 如果 $|\arg (1-z)|<\pi ,0<\mathrm{Re}(a)<\mathrm{Re}(c)$, 则$${{}_2\mathrm{F}}_1(a,b;c;z)=\frac{1}{\mathrm{B}(a,c-a)}{\int }_0^1{t}^{a-1}(1-t{)}^{c-a-1}(1-tz{)}^{-b}\mathrm{d}t.$$

如果令 $z=1$, 则不难得出$${{}_2\mathrm{F}}_1(a,b;c;1)=\frac{\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)},$$它被称为 Gauss 原理.

超几何方程在正则奇点处的解

(…)

变换公式

(…)

术语翻译

超几何函数 • 英文 hypergeometric function • 德文 hypergeometrischen Funktion • 法文 fonction hypergéométrique • 日文 超幾何関数 (ちょうきかかんすう)