区间

本文介绍的是偏序集上的区间. 关于拓扑空间 $I=[0,1]$, 请参见 “区间 (拓扑空间)”.

实数上的区间是指介于两个给定的数之间的数的集合. 这一概念也可以推广到一般的偏序集.

1定义

定义 1.1 (区间). 设 $X$ 是偏序集 (例如 $X=\mathbb{R}$), 设 $a,b\in X$. $X$ 中的区间是指以下任意一种 $X$ 的子集:

•	闭区间: $$[a,b]=\{x\in X\mid a\le x\le b\}.$$
•	半开区间 (或半开半闭区间): $$\begin{array}{rl}[a,b[& =\{x\in X\mid a\le x<b\},\\ ]a,b]& =\{x\in X\mid a<x\le b\},\\ [a,\infty [& =\{x\in X\mid a\le x\},\\ ]-\infty ,b]& =\{x\in X\mid x\le b\}.\end{array}$$
•	开区间: $$\begin{array}{rl}]a,b[& =\{x\in X\mid a<x<b\},\\ ]a,\infty [& =\{x\in X\mid a<x\},\\ ]-\infty ,b[& =\{x\in X\mid x<b\},\\ ]-\infty ,\infty [& =X.\end{array}$$

术语翻译

区间 • 英文 interval • 德文 Invervall (n) • 法文 intervalle (m) • 拉丁文 intervallum (n) • 古希腊文 διάστημα (n)

闭区间 • 英文 closed interval • 德文 abgeschlossenes Intervall • 法文 intervalle fermé • 拉丁文 intervallum clausum • 古希腊文 κλειστὸν διάστημα

半开区间 • 英文 half-open interval • 德文 halboffenes Intervall • 法文 intervalle semi-ouvert • 拉丁文 intervallum semi-apertum • 古希腊文 ἡμιανοικτὸν διάστημα

开区间 • 英文 open interval • 德文 offenes Intervall • 法文 intervalle ouvert • 拉丁文 intervallum apertum • 古希腊文 ἀνοικτὸν διἀστημα