拓扑空间

拓扑空间是一种结构, 是描述空间的概念的一种方法. 拓扑空间可以想象成一个形状, 我们只关心该形状被连续形变所保持的性质, 而不关心该图形具体的样子. 例如, 咖啡杯的表面可以通过连续形变, 变成一个圆环面, 因而这两个表面被视作相同的 (确切地说, 同胚的) 拓扑空间.

拓扑空间是基于开集的概念而定义的. 开集是实数上开区间的推广, 指满足以下性质的集合: 它的每个点都在它的内部, 也就是说, 从那个点的视角看, 与它离得足够近的所有点都在该开集内. 例如, 闭区间因为有端点而不满足这个性质.

拓扑空间是度量空间的推广. 在度量空间中, 通过点与点间的距离来确定其位置关系. 而在拓扑空间中, 则不需要给出明确的距离值, 也能描述空间的性质.

拓扑空间在数学中有广泛的应用. 在几何学、拓扑学中, 我们使用的多数空间都基于拓扑空间而定义. 在分析学中, 拓扑向量空间及其衍生概念是重要的工具.

1定义

拓扑空间

定义 1.1 (拓扑空间、开集). 拓扑空间是二元组 $(X,\tau )$, 其中

•

$X$ 是集合.

•	$\tau$ 是由 $X$ 的一些子集构成的集合, 这些子集称为开集. 我们也把 $\tau$ 叫做 $X$ 上的拓扑.

它们满足如下性质:

•	有限个开集的交仍是开集.

•	任意多个开集的并仍是开集.

在无歧义时, 也直接称 $X$ 为拓扑空间.

注 1.2. 在拓扑空间 $X$ 中,

•	因为 $X$ 自身是 $0$ 个开集的交, 所以 $X$ 是开集.

•	因为 $\varnothing \subset X$ 是 $0$ 个开集的并, 所以 $\varnothing$ 是开集.

定义 1.3 (闭集). 在拓扑空间 $X$ 中, 子集 $Z\subset X$ 称为闭集, 当且仅当 $X\setminus Z$ 是开集.

连续映射

连续映射是拓扑空间之间自然的映射的概念.

定义 1.4 (连续映射). 拓扑空间 $X,Y$ 之间的连续映射是指集合间映射 $f:X\to Y$, 满足以下条件:

•	$Y$ 的每个开集的原像是 $X$ 中的开集.

定义 1.5 (拓扑空间范畴). 所有拓扑空间以及它们之间的连续映射构成一个范畴, 称为拓扑空间范畴, 记作 $\mathsf{Top}$.

定义 1.6 (同胚). 同胚是指拓扑空间范畴 (定义 1.5) 中的同构.

具体地说, 拓扑空间之间的连续映射 $f:X\to Y$ 称为同胚, 如果存在连续映射 $g:Y\to X$, 使得复合映射 $f\circ g$ 以及 $g\circ f$ 均为恒等映射.

如果这样的同胚映射存在, 就说 $X$ 与 $Y$ 同胚.

2例子

•	空集 $\varnothing$、单点集 $\ast$ 各自具有唯一的拓扑空间结构, 称为空空间、单点空间. 它们分别是拓扑空间范畴的始对象、终对象.

•	给定集合 $X$. ∘ 若令 $X$ 自身及 $\varnothing$ 为仅有的开集, 则得到拓扑空间, 称为 $X$ 上的平凡拓扑. 这是 $X$ 上最粗的拓扑. ∘ 若令 $X$ 的所有子集都为开集, 则得到拓扑空间, 称为 $X$ 上的离散拓扑. 这是 $X$ 上最细的拓扑. ∘ 令子集 $U\subset X$ 为开集当且仅当 $X\setminus U$ 为有限集. 则得到拓扑空间, 称为 $X$ 上的余有限拓扑.

3相关概念

•	景、意象
•	流形

术语翻译

拓扑空间 • 英文 topological space • 德文 topologischer Raum • 法文 espace topologique • 拉丁文 spatium topologicum • 古希腊文 τοπολογικὸς χῶρος • 日文 位相空間