限制乘积

限制乘积是构造加元环和理元群以及一般元群的工具.

一族局部紧群的乘积拓扑通常不再是局部紧的, 这样我们就无法应用调和分析, 因此我们考虑限制乘积.

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1定义

定义 1.1. 令 $G_{v}$ , $v \in I$ 是一族局部紧群, $H_{v}$ 是 $G_{v}$ 的闭子群, 且对除有限个 $v$ 之外, $H_{v}$ 均为开紧集, 我们定义 $G_{v}$ 相对于 $H_{v}$ 的限制乘积为集合 $v \prod^{'} G_{v} = {((g_{v})_{v}) \in v \prod G_{v}; 对有限个 v 外, g_{v} \in H_{v}}$

显然 $\prod_{v}^{'} G_{v}$ 在分量相乘下是一个群.

定义 1.2. 设 $U_{v}$ 是 $G_{v}$ 中开集, 且除有限个 $v$ 外 $U_{v} = H_{v}$ . 容易验证 $\prod_{v}^{'} G_{v}$ 中形如 $g \cdot \prod_{v}^{'} U_{v}$ , $g \in \prod_{v}^{'} G_{v}$ 的集合构成一组拓扑基, 称其生成的拓扑为限制乘积拓扑.

注 1.3. $\prod_{v}^{'} G_{v}$ 的限制乘积拓扑并非 $\prod_{v} G_{v}$ 的限制拓扑.

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术语翻译

限制乘积 • 英文 restricted direct product

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