Egorov 定理

在测度论中, Egorov 定理给出了从逐点收敛过渡到一致收敛的条件.

1叙述与证明

设 $(X,\mathcal{M},\mu )$ 是有限测度空间. $(M,d)$ 是度量空间, 配上 Borel 代数.

定理 1.1 (Egorov). 设 $f_n:X\to M$ 是一列可测函数, 几乎处处收敛到函数 $f$. 则对于任意 $\epsilon >0$, 存在可测集 $E\subset X$, 使得 $\mu (X-E)<\epsilon$, 且 $\{f_n\}$ 在 $E$ 上一致收敛.

证明. 对于任意 $N>0$, 由几乎处处收敛推出$$\mu \left(\bigcap _{m\ge 1}\bigcup _{n\ge m}\{d(f,f_n)\ge N^{-1}\}\right)=0.$$而 $\mu$ 是有限测度, 故存在 $m_N$, 使得$$\mu \left(\bigcup _{n\ge m_N}\{d(f,f_n)\ge N^{-1}\}\right)<\frac{\epsilon }{2^N}.$$记上述集合对 $N=1,2,\cdots$ 的并集为 $F$. 则 $\mu (F)<\epsilon$, 且 $f_n$ 在 $E:=X-F$ 上一致收敛到 $f$.

$\square$

2例子

•	考虑 $\mathbb{R}$ 上的可测函数及 Lebesgue 测度. 取 $f_n$ 为 $[n,n+1]$ 上的示性函数, 则 $f_n$ 逐点收敛至 $0$. 此时不能找出 $F$, $\mu (F)<1$, 且 $f_n$ 在 $F$ 之外一致收敛.

3应用