Euler–Lagrange 方程

Euler–Lagrange 方程是质点力学或经典场论中, 在给出作用量后, 由最小作用量原理得到的质点或场的运动所需要满足的方程. 它因此成为 Lagrange 力学的基础.

1陈述与证明

质点力学版本

定理 1.1. 给定流形 $M$ 作为全空间, 给定 Lagrange 量 $L=L(x,\dot{x})$ (即 $L$ 是一个切丛 $\mathrm{T}M$ 上的函数, $x$ 表示 $M$ 本身的分量, $\dot{x}$ 表示切空间的分量), 则质点在 $M$ 中的运动 (由参数曲线 $x(t)$ 描述) 满足方程$$\frac{dL}{dx}-\frac{d}{dt}\frac{dL}{d\dot{x}}=0.$$

证明. (...)

$\square$

注 1.2. 这里的 “质点力学” 的实际上是指有限自由度的系统, 例如 ${\mathbb{R}}^n$ 中刚体的构形可以由 ${\mathbb{R}}^n$ 的等距变换群 $\mathrm{ISO}(n,\mathbb{R})$ 中的元素参数化. 此时为建立 Euler–Lagrange 方程只需考虑流形 $M=\mathrm{ISO}(n,\mathbb{R})$.

场论版本

定理 1.3. 给定全空间 ${\mathbb{R}}^n$ 和对 ${\mathbb{R}}^n$ 上函数 $\varphi$ 定义的作用量密度 $\mathcal{L}(\varphi ,{\partial }_{\mu }\varphi )$, (即 $n+1$ 元函数 $\mathcal{L}$ 代入 $\varphi$, ${\partial }_{\mu }\varphi$ 的值), 则 $\varphi$ 描述场的运动时满足方程$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi }-{\partial }_{\mu }\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\varphi )}=0.$$

证明. (...)

$\square$

注 1.4. 把 ${\mathbb{R}}^n$ 中一个坐标视为时间, 则函数 $\varphi$ 中给定时间的截面可以认为描述了空间中的场. $\varphi$ 本身综合了所有时间截面的信息, 描述了场的 (假想的) 演化. 上述定理即描述了 $\varphi$ 真正描述某个场的演化时需要满足的条件.

注 1.5. 上面的表述中全空间也可以换成任何一个流形, 函数 $\varphi$ 也可以换为非平凡的丛的截面, 只要能在上面定义好的导数和积分理论, 则类似的方程也成立 (见例 2.2).

2例子

例 2.1. 考虑 $M$ 为标准 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$, $$L(x,\dot{x})=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\varphi (x)$$(即 “动能减势能”), 则 $x$ 需要满足方程$$\ddot{x}=-\nabla \varphi (x)=F,$$即牛顿力学中力与加速度的关系.

例 2.2 ($\beta$-$\gamma$ 系统). 令全空间 $X$ 为给定的 Riemann 面, 作用量密度为 (一个 $(1,1)$-形式, 因此可以在全空间上积分) $$S:(\beta ,\gamma )\mapsto \beta \wedge \bar{\partial }\gamma ,$$其中$$(\beta ,\gamma )\in {\Omega }^{1,0}(X)\oplus {\Omega }^{0,0}(X).$$则由类似推理可知 $\beta$, $\gamma$ 描述运动时需要满足方程$$\bar{\partial }\beta =\bar{\partial }\gamma =0,$$即 $\beta$, $\gamma$ 均为全纯形式.

3相关概念

•	Noether 定理
•	Lagrange 力学

术语翻译

Euler–Lagrange 方程 • 英文 Euler–Lagrange 方程 • 德文 Euler–Lagrange-Gleichung • 法文 équation d’Euler–Lagrange