Faà di Bruno 公式

Faà di Bruno 公式是计算复合函数的高阶导数 $(f\circ g{)}^{(n)}$ 的公式, 也是链式法则的对于高阶导数的推广.

1陈述和证明

定理 1.1 (Faà di Bruno 公式). 设 $n$ 是自然数, 假设

•	函数 $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 在 $x\in \mathbb{R}$ 处具有 $n$ 阶导数.
•	函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 在 $g(x)\in \mathbb{R}$ 处具有 $n$ 阶导数.

则复合函数 $f\circ g$ 在 $x$ 处也具有 $n$ 阶导数, 并且$$\begin{array}{rl}(f\circ g{)}^{(n)}(x)& =\sum _{\begin{array}{c}{m}_1,\dots ,m_n\in \mathbb{N}\\ 1m_1+\cdots +n{m}_n=n\end{array}}\frac{n!}{m_1!1{!}^{m_1}\cdots m_n!n{!}^{m_n}}\cdot f^{(m_1+\cdots +m_n)}(g(x))g^{\prime }(x{)}^{m_1}\cdots g^{(n)}(x{)}^{m_n}.\end{array}$$这个公式也可以写成$$(f\circ g{)}^{(n)}(x)=\sum _P{f}^{(|P|)}(g(x))\prod _{p\in P}{g}^{(|p|)}(x),$$其中 $P$ 取遍 $\{1,\dots ,n\}$ 的所有无序分割.

证明. 我们有$$\begin{array}{rl}f(g(x+\epsilon ))& =f(g(x)+\frac{g^{\prime }(x)}{1!}\epsilon +\cdots +\frac{g^{(n)}(x)}{n!}{\epsilon }^n+o({\epsilon }^n))\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(g(x))}{k!}(\frac{g^{\prime }(x)}{1!}\epsilon +\cdots +\frac{g^{(n)}(x)}{n!}{\epsilon }^n+o({\epsilon }^n){)}^k+o({\epsilon }^n).\end{array}$$因此, $(f\circ g{)}^{(n)}(x)$ 就是 $n!$ 乘以上式中 ${\epsilon }^n$ 的系数, 从而$$\begin{array}{rl}(f\circ g{)}^{(n)}(x)& =n!\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(g(x))}{k!}\sum _{\begin{array}{c}{m}_1+\cdots +m_n=k\\ 1m_1+\cdots +n{m}_n=n\end{array}}\frac{k!}{m_1!\cdots m_n!}(\frac{g^{\prime }(x)}{1!}{)}^{m_1}\cdots (\frac{g^{(n)}(x)}{n!}{)}^{m_n},\end{array}$$这即是想要的表达式.

$\square$

注 1.2. 定理 1.1 也可以等价叙述如下: 对于形式幂级数 $a(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 和 $b(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n{x}^n$, 我们记$$a(b(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n{x}^n,$$则$$c_n=\sum _{\begin{array}{c}{m}_1,\dots ,m_n\in \mathbb{N}\\ 1m_1+\cdots +n{m}_n=n\end{array}}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m_1+\cdots +m_n}{m_1,\dots ,m_n}\right)a_{m_1+\cdots +m_n}{b}_1^{m_1}\cdots b_n^{m_n}.$$

术语翻译

Faà di Bruno 公式 • 英文 Faà di Bruno’s formula • 德文 Formel von Faà di Bruno • 法文 formule de Faà di Bruno