Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker 度规

Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker 度规是 Einstein 场方程的解. 在物理上, 它描述一个均匀且各向同性的宇宙.

1定义

设理想流体有能动张量$$T_{\mu \nu }=(p+\rho )U_{\mu }{U}_{\nu }+p{g}_{\mu \nu },$$其中 $U$ 是观者的四速, 故只有时间分量.

定义 1.1. Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker 度规是在 ${\mathbb{R}}^4$ 上的如下度规: $$g=-d{t}^2+a(t{)}^2\left(\frac{1}{1-k{r}^2}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2)\right).$$其中 $k$ 取遍实数, 可分成三类:

1.	$k>0$: 代表球空间.
2.	$k=0$: 代表平直空间.
3.	$k<0$: 代表双曲空间.

而 $a(t)$ 满足 Friedmann 方程: $$\begin{array}{rl}\frac{{\dot{a}}^2+k}{a^2}& =\frac{8\pi \rho }{3}.\\ \frac{\ddot{a}}{a}& =-\frac{4\pi }{3}(\rho +3p).\end{array}$$

注 1.2. 通过共形等价, 我们只需考虑宇宙的三种模型, 即 $k=0,1,-1$.

注 1.3. 在定义中, 我们不需要连续性方程所加的限制, 因为连续性方程$$\dot{\rho }+3\frac{\dot{a}}{a}(p+\rho )=0$$可以容易地从两个 Friedmann 方程导出. 事实上这有道理, 因为在节 (2) 将会看到 Friedmann 方程本质上是 Einstein 场方程, 所以已经蕴涵了连续性方程.

2导出

均匀和各向同性的条件给出$$g=-d{t}^2+a(t{)}^{2}d{s}^2,$$其中 $d{s}^2$ 是一个在 ${\mathbb{R}}^3$ 上的度规. 再由各向同性性, 知 $d{s}^2$ 截面曲率不依赖于截面的选取. 所以 Schur 引理说明 $d{s}^2$ 是常曲率空间, 因为物理上自然性, 在截面曲率为 $k$ 时不妨取最对称的情况:

1.	$k>0$. 取球面 $w^2+x^2+y^2+z^2=k^{-\frac{1}{2}}$.
2.	$k=0$. 取欧氏空间.
3.	$k<0$. 取双曲面 $-w^2+x^2+y^2+z^2=|k{|}^{-\frac{1}{2}}$.

然后限制在 ${\mathbb{R}}^3$ 上得到$$d{s}^2=\frac{1}{1-k{r}^2}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2).$$故可以计算出 Ricci 曲率为$$\begin{array}{rl}{R}_{tt}& =-3\frac{\ddot{a}}{a},\\ R_{ij}& =\left(\frac{\ddot{a}}{a}+2\frac{{\dot{a}}^2+k}{a^2}\right)g_{ij}.\end{array}$$Einstein 场方程就给出$$3\frac{{\dot{a}}^2+k}{a^2}=G_{00}=8\pi T_{00}=8\pi \rho .$$这就是第一个 Friedmann 方程. 以及对 $i,j\ne t$ 求和给出$$-6\frac{\ddot{a}}{a}-3\frac{{\dot{a}}^2+k}{a^2}=g^{ij}{G}_{ij}=8\pi g^{ij}{T}_{ij}=8\pi \cdot 3p.$$结合第一个 Friedmann 方程便得第二个 Friedmann 方程$$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi }{3}(\rho +3p).$$

3宇宙学

Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker 度规能够初步预测宇宙学的一些现象.

大爆炸奇点

由 $a>0$, 第二个 Friedmann 方程给出 $\ddot{a}<0$. 从而必有某个时间使得 $a=0$. 将其称为大爆炸奇点. 它的确在度规上表现奇性, 因为连续性方程可以写成$$\frac{d(a^3\rho )}{da}=-3p{a}^2,$$这说明当 $t\to 0$ 时, $\rho <C{a}^{-3}$, 代入第一个 Friedmann 方程, 得到 ${\lim }_{t\to \infty }\dot{a}=\infty$. 两个特殊情况为:

•	尘埃宇宙. 即 $p=0$. 故 $\rho \propto a^{-3}$. 且在 $k=0$ 的情况下, $a\propto t^{\frac{2}{3}}$.
•	辐射宇宙. 即 $p=\frac{1}{3}\rho$. 故 $\rho \propto a^{-4}$. 且在 $k=0$ 的情况下, $a\propto t^{\frac{1}{2}}$.

宇宙学红移

实验证明宇宙存在红移, 即在不同星系间发出光的波长比接收光的波长更短. 直观来说, 也就是宇宙在膨胀.

设光从 $A$ 传至 $B$. 定义红移因子为$$z(t)=\frac{\nu {|}_A}{\nu {|}_B}-1.$$那么可以计算得$$z(t)=\frac{a{|}_B}{a{|}_A}-1\approx \frac{\dot{a}(t)}{a(t)}D(t),$$其中 $D(t)$ 是 $A$, $B$ 之间得距离. 这就是 Hubble 定律.