Goldbach 猜想

Goldbach 猜想一般指下面两个 Goldbach 在和 Euler 书信来往时提出的两个假设:

猜想 0.1 (奇数 Goldbach 猜想). 每个大于 5 的奇数都可被表为三个素数的和.

猜想 0.2 (偶数 Goldbach 猜想). 每个大于 2 的偶数都可被表为两个素数的和.

1历史进展

奇数 Goldbach 猜想

1937 年 Vinogradov [Vin37] 运用圆法率先证明猜想 0.1 对于充分大的奇数成立. 1997 年, Deshouillers、G. Effinger、H. Te Riele 和 Zinoviev [DERZ97] 在假定广义 Riemann 猜想的情况下证明了 Vinogradov 的结论可以被推广至所有大于 $5$ 的奇数. 而猜想 0.1 的无条件版本最终由 Helfgott 在 2014 年给出完整证明 [Hel14].

偶数 Goldbach 猜想

为方便叙述猜想 0.2 的历史进展, 我们定义:

命题 $\{a,b\}$

定义 1.1 (命题 $\{a,b\}$). 存在 $x_0>2$ 使得当偶数 $x\ge x_0$ 时, 存在整数 $1<n_1,n_2<x$ 使得 $x=n_1+n_2$. 其中 $n_1$ 的素因子个数不超过 $a$、$n_2$ 的素因子个数不超过 $b$.

注 1.2. 有时候命题 $\{a,b\}$ 也会被称为命题 $a+b$.

1920 年, Viggo Brun [Bru20] 通过对 Eratsthenes 筛法进行改良, 证明了 $\{9,9\}$. 这个结果在 1924 年被 Rademacher 改进到 $\{7,7\}$. 1932 年 Estermann 证明了 $\{6,6\}$. 1937 年 Ricci 证明了 $\{5,7\}$、$\{4,9\}$、$\{3,15\}$ 和 $\{2,366\}$.

通过将迭代法引入 Brun 筛, Buchstab 在 1938 年证明了 $\{5,5\}$. 后来这个结果被他本人改进到 $\{4,4\}$. 1956 年王元通过用 Selberg 筛法 [Sel47] 改进 Buchstab 迭代法, 得到了 $\{3,4\}$[Wan56]. 1958 年, 1957 年 Vinogradov 证明了 $\{3,3\}$, 这个结果次年被王元通过 Kuhn 的加权筛法 [Kuh1954] 改进至 $\{2,3\}$[Wan58].

命题 $\{1,c\}$

命题 $\{a,b\}$ 在 $a,b\ge 2$ 时的研究方法均在使用初等筛法, 而命题 $\{1,c\}$ 的研究由于用到了本质上不同的方法所以其进展将在这一节中单独讨论.

不同于之前在区间上筛素数, 研究 $\{1,c\}$ 时所用的筛法是在素数中进行筛选的:

$$P_y(x,z)=\{p\le x:p\not\equiv y(\mathrm{mod}{p}^{\prime })(p^{\prime }\le z)\}$$

其中 $x$ 为偶数、$p,p^{\prime }$ 为素数. 通过设置特定的 $y$ 和 $z$ 我们就可以用这个筛函数来研究 $\{1,c\}$ 了:

命题 1.3. 对于正实数 $u$, 当 $P_y(x,x^{1/u})>0$ 对于所有充分大的 $x$ 成立时, 命题 $\{1,c\}$ 在 $c=\lceil u\rceil -1$ 时成立.

正是因此, 在 $\{1,c\}$ 问题的研究中会产生下列形式的误差项:

$$R(x,z)=\sum _{q\le z}\underset{\xi \le x}{\max }\underset{(a,q)=1}{\max }\left|\pi (\xi ;q,a)-\frac{\mathrm{li}\xi }{\phi (q)}\right|$$

其中 $\pi (x;q,a)$ 表示大小不超过 $x$ 且 $\equiv a(\mathrm{mod}q)$ 的素数个数. 如果我们能够选取特定的 $z$ 使得 $R(x,z){\ll }_{A}x{\log }^{-A}x$ 就可以证明 $x$ 充分大时 $P_y(x,z)>0$. 因此为了方便后续的介绍, 我们定义符号 $\mathrm{EH}(\eta )$.

定义 1.4 ($\mathrm{EH}(\eta )$). 我们称 $\mathrm{EH}(\eta )$ 成立当且仅当对于所有 $\epsilon ,A>0$ 均有: $$R(x,x^{\eta -\epsilon }){\ll }_A\frac{x}{{\log }^{A}x}$$对充分大的 $x$ 成立.

由于二十世纪初期还没诞生强劲的工具来处理形如 $R(x,z)$ 的均值误差项, 所以早期的 $\{1,c\}$ 都是通过假定广义 Riemann 猜想成立的情况下进行的.

定理 1.5. 若广义 Riemann 猜想成立, 则 $\mathrm{EH}(\frac{1}{2})$ 成立.

基于定理 1.5, Estermann 证明了 GRH 成立时有 $\{1,6\}$. 1956 年王元在此基础上证明了 $\{1,4\}$[Wan56-2]. 1962 年时他通过引入 Kuhn 的加权筛法 [Kuh1954] 从而将此结果再改进成 $\{1,3\}$[Wan62].

1948 年 Rényi 利用大筛法证明了存在 $\eta >0$ 使 $\mathrm{EH}(\eta )$ 成立从而证明存在正整数 $c$ 使 $\{1,c\}$ 成立. 1961 年潘承洞证明了 $\mathrm{EH}(\frac{1}{3})$ 从而得到了无条件的 $\{1,5\}$. 1965 年 Bombieri [Bom65] 和 Vinogradov [Vin65] 独立给出了 $\mathrm{EH}(\frac{1}{2})$ 的无条件证明间接地将 $\{1,3\}$ 变成了无条件结论. 因此 $\mathrm{EH}(\frac{1}{2})$ 也被称为与 GRH 分庭抗礼的 Bombieri–Vinogradov 定理.

命题 $\{1,2\}$

王元的 $\{1,3\}$ 加权筛实际上给出的是以下三类素数的个数下界:

1.	$x-p=p_1{p}_2{p}_3$, 其中 $x^{\frac{1}{10}}<p_1\le x^{\frac{1}{3}}<p_2<p_3\le x$.
2.	$x-p=p_1{p}_2$, 其中 $x^{\frac{1}{10}}<p_1<p_2\le x$.
3.	$x-p=p_1$, 其中 $x^{\frac{1}{10}}<p_1\le x$

通过构造并运用 Selberg 筛法和大筛法来估计 $\Omega$:

$$\Omega =\sum _{\begin{array}{c}{x}^{\frac{1}{10}}<p_1\le x^{\frac{1}{3}}<p_2\le {\left(\frac{x}{p_1}\right)}^{\frac{1}{2}}\\ p_3\le \frac{x}{p_1{p}_2}\\ x-p=p_1{p}_2{p}_3\end{array}}1$$

陈景润意识到只要从 $\{1,3\}$ 的加权筛法中减去 $\frac{\Omega }{2}$ 就可以把第一类素数排除, 从而得到 $\{1,2\}$:

定理 1.6 (陈景润, 1973). 当 $x$ 为一个充分大的偶数时, 其被表示成一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和的方法数$$\ge 0.67\prod _{\begin{array}{c}p|x\\ p>2\end{array}}\frac{p-1}{p-2}\prod _{p>2}\left(1-\frac{1}{(p-1{)}^2}\right)\frac{x}{{\log }^{2}x}$$

定理 1.6 中的系数后来被多位数学家逐渐改进, 迄今为止最好的系数 $0.899$ 是由吴杰给出的 [Wu04].

注 1.7. 陈景润这种构造 $\Omega$ 的方法被后人 [FG86] 总结为转化原理 (switching principle) .

2相关链接

命题 $\{9,9\}$、$\{5,5\}$、$\{4,4\}$、$\{3,4\}$、$\{2,3\}$、$\{1,7\}$、$\{1,4\}$、$\{1,3\}$ 以及 $\{1,2\}$ 的证明可见于用户 TravorLZH 的专栏

参考文献

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