Lubin–Tate 理论

Lubin–Tate 理论是局部类域论的具体描述. 正如 Kronecker 青春之梦具体刻画数域的 Abel 扩张, Lubin–Tate 理论刻画了局部域的 Abel 扩张. 与整体情形不同的是, 局部情形容易得多, 早已是个成熟的理论, 且它还对非 Abel 情形——局部 Langlands 纲领的发展有所启发.

1陈述

Kronecker 青春之梦用椭圆曲线的挠点生成 Abel 扩张, Lubin–Tate 理论则用其局部类比——形式群的挠点生成之.

固定非 Archemedes 局部域 $K$, 以 $q$ 记其剩余域元素个数. 以 $K^{\text{un}}$ 记 $K$ 的极大非分歧扩张, $\breve{K}$ 记其完备化, $K^{\text{ab}}$ 记 $K$ 的极大 Abel 扩张. 对其素元 $\pi$, 以 ${\mathcal{F}}_{\pi }$ 记 ${\mathcal{O}}_K[[X]]$ 中模 $\pi X^2$ 余 $\pi X+X^q$ 者组成的集合.

命题 1.1 (Lubin–Tate 形式群). 对任意 $f\in {\mathcal{F}}_{\pi }$, 存在唯一的形式 ${\mathcal{O}}_K$-模, 使得 $a\in {\mathcal{O}}_K$ 的作用将一次项乘以 $a$, 而 $\pi$ 的作用是 $f$. 具体地说, 存在唯一形式幂级数 $F(X,Y)\in {\mathcal{O}}_K[[X,Y]]$ 以及对每个 $a\in {\mathcal{O}}_K$ 一个 $[a](X)\in {\mathcal{O}}_K[[X]]$, 满足:

•	$F(0,X)=F(X,0)=X$.
•	$F(X,F(Y,Z))=F(F(X,Y),Z)$.
•	$F(X,Y)=F(Y,X)$.
•	$[a](X)\equiv aX(\mathrm{mod}{X}^2)$.
•	$[a](F(X,Y))=F([a](X),[a](Y))$.
•	$[0](X)=0$.
•	$[1](X)=X$.
•	$[a+b](X)=F([a](X),[b](X))$.
•	$[ab](X)=[a]([b](X))$
•	$[\pi ](X)=f(X)$.

此时也把 $F(X,Y)$ 记作 $X{+}_{f}Y$, $[a](X)$ 记作 $[a{]}_{f}X$.

以上结构称为 Lubin–Tate 形式群. 注意它不只是形式群, 而是形式 ${\mathcal{O}}_K$-模.

命题 1.2 (关于 $f$ 的唯一性). 对 $f,g\in {\mathcal{F}}_{\pi }$, 存在唯一 $h(X)\in X+X^2{\mathcal{O}}_K[[X]]$, 满足 $h\circ f=g\circ h$. 此 $h$ 满足 $h(X{+}_{f}Y)=h(X){+}_{g}h(Y)$, $h([a{]}_{f}X)=[a{]}_{g}h(X)$. 换言之, $f$ 和 $g$ 的 Lubin–Tate 形式群之间有唯一同构.

于是可对素元 $\pi$ 以 $({+}_{\pi },[a{]}_{\pi })$ 记其 Lubin–Tate 形式群.

命题 1.3 (关于 $\pi$ 的唯一性). 对素元 $\pi ,\varpi \in K$, $f\in {\mathcal{F}}_{\pi }$, $g\in {\mathcal{F}}_{\varpi }$, 存在唯一 $h(X)\in X+X^2{\mathcal{O}}_{\breve{K}}[[X]]$, 满足 $h(X{+}_{f}Y)=h(X){+}_{g}h(Y)$, $h([a{]}_{f}X)=[a{]}_{g}h(X)$. 换言之, Lubin–Tate 形式群 $({+}_{\pi },[\cdot {]}_{\pi })$ 与 $({+}_{\varpi },[\cdot {]}_{\varpi })$ 在 $\breve{K}$ 上典范同构.

用 Lubin–Tate 形式群可具体描述局部类域论如下:

定理 1.4. 以 $C$ 记 $K$ 的代数闭包的完备化, ${\mathfrak{m}}_C$ 记其极大理想. 则对素元 $\pi$, 可用 $({+}_{\pi },[\cdot {]}_{\pi })$ 把 ${\mathfrak{m}}_C$ 做成 ${\mathcal{O}}_K$-模, 由于幂级数在 $\mathfrak{m}$ 都收敛. 对 $n\in \mathbb{N}$, 以 $K_{\pi ,n}$ 记 ${\mathfrak{m}}_C$ 在此模结构下的 ${\pi }^n$-挠点在 $K$ 上生成的域扩张. 则 $K_{\pi ,n}/K$ 是有限 Galois 扩张, 纯分歧. $({\mathcal{O}}_K/{\pi }^n{)}^{\times }$ 作用在 ${\pi }^n$-挠点上, 给出同构$$[\cdot {]}_{\pi }:({\mathcal{O}}_K/{\pi }^n{)}^{\times }\cong \mathrm{Gal}(K_{\pi ,n}/K).$$记 $K_{\pi }={\bigcup }_{n\in \mathbb{N}}{K}_{\pi ,n}$. 则以上同构取极限给出$$[\cdot {]}_{\pi }:{\mathcal{O}}_K^{\times }\cong \mathrm{Gal}(K_{\pi }/K).$$另外, $K^{\text{un}}{K}_{\pi }=K^{\text{ab}}$, 且映射$${\pi }^{\mathbb{Z}}\times {\mathcal{O}}_K^{\times }=K^{\times }\to \mathrm{Gal}(K^{\text{ab}}/K)=\mathrm{Gal}(K^{\text{un}}/K)\times \mathrm{Gal}(K_{\pi }/K)$$$$({\pi }^m,a)\mapsto ({\text{Frob}}^m,[a^{-1}{]}_{\pi })$$给出局部 Artin 互反律. 特别地, 此映射不依赖于 $\pi$ 的选取.

这就是 Lubin–Tate 理论.

2例子

取 $K={\mathbb{Q}}_p$, $\pi =p$, $f(X)=(1+X{)}^p-1$, 则不难看出 $F(X,Y)=(1+X)(1+Y)-1$, $[a](X)=(1+X{)}^a-1$ 满足条件, 其中 $(1+X{)}^a$ 按二项式展开解释. 此即形式乘法群 $\widehat{{\mathbb{G}}_m}$, $p^n$ 阶挠点形如 ${\zeta }_{p^n}^k-1$. 于是 ${\mathbb{Q}}_{p,n}={\mathbb{Q}}_p({\mu }_{p^n})$. 此时定理 1.4 前半部分是个域论习题, 后半部分给出$${\mathbb{Q}}_p^{\text{ab}}={\mathbb{Q}}_p({\mu }_{p^{\infty }}){\mathbb{Q}}_p^{\text{un}}={\mathbb{Q}}_p({\mu }_{\infty }).$$这就是局部 Kronecker–Weber 定理.

3现代观点

4相关论题

•	Kronecker 青春之梦
•	Langlands 纲领
•	形式群
•	形变
•	Fargues–Fontaine 曲线

术语翻译

Lubin–Tate 理论 • 英文 Lubin–Tate theory