Radon–Nikodym–Lebesgue 定理

Radon–Nikodym–Lebesgue 定理是个测度论定理. 它把复测度沿着 $\sigma$-有限测度分解为绝对连续部分与奇异部分, 并给出绝对连续部分的分类. 上一句话的前半句也称为 Lebesgue 分解定理, 后半句也称为 Radon–Nikodym 定理. 一石二鸟的简洁证明由 von Neumann 给出.

1定理与证明

定理 1.1. 设 $(X,\mathcal{M})$ 是可测空间, $\mu$ 是其上 $\sigma$-有限正测度, $\nu$ 是其上复测度. 则存在唯一函数 $f\in L^1(\mu )$ 以及测度 $\lambda$, 使得 $\nu =f\mu +\lambda$, 且 $\lambda \perp \mu$.

证明. 唯一性比较容易: 如 $\nu =f_1\mu +{\lambda }_1=f_2\mu +{\lambda }_2$, 则 $(f_1-f_2)\mu ={\lambda }_2-{\lambda }_1$; 等式左边关于 $\mu$ 绝对连续, 右边关于 $\mu$ 奇异, 故两边都是 $0$, 即 $f_1=f_2$, ${\lambda }_1={\lambda }_2$. 下证存在性.

把 $\nu$ 分成实部、虚部, 再各分成正部、负部, 可设其为有限正测度. 取分拆 $X={⨆}_{i=1}^{\infty }{X}_i$ 满足 $\mu (X_i)<\infty$, 然后令 $w={\sum }_{i=1}^{\infty }\frac{1_{X_i}}{2^i\mu (X_i)}$, 以 $w\mu$ 替换 $\mu$, 可设 $\mu$ 亦为有限正测度. 这样 $\mu +\nu$ 自然也是有限测度, 于是 $L^2(\mu +\nu )\subseteq L^1(\mu +\nu )\subseteq L^1(\mu )\cap L^1(\nu )$, 且这些含入映射都连续.

考虑 Hilbert 空间 $L^2(\mu +\nu )$ 上连续泛函 $\phi \mapsto \int \phi \mathrm{d}\nu$. 由 Riesz 表示定理, 存在 $g\in L^2(\mu +\nu )$ 使得此泛函就是 $⟨\cdot ,g⟩$. 注意对 $\phi \ge 0$ 都有 $0\le ⟨\phi ,g⟩\le ⟨\phi ,1⟩$, 更改 $(\mu +\nu )$-零测集上 $g$ 的值, 可设 $0\le g\le 1$. 把 $g$ 的定义式移项, 知对任意 $\phi \in L^2(\mu +\nu )$, $$\int \phi g\mathrm{d}\mu =\int \phi (1-g)\mathrm{d}\nu .$$令 $A=\{g=1\}$, 取 $\phi =1_A$, 知 $\mu (A)=0$. 令 $f_n={\sum }_{i=1}^n{g}^i$, 任取 $E\in \mathcal{M}$, 取 $\phi =1_E{\sum }_{i=0}^{n-1}{g}^i$, 知$${\int }_E{f}_n\mathrm{d}\mu ={\int }_E(1-g^n)\mathrm{d}\nu .$$令 $f=\frac{g}{1-g}={\lim }_{n\to \infty }{f}_n$, 对上式用单调收敛定理, 知$${\int }_{E}f\mathrm{d}\mu ={\int }_E{1}_{X\setminus A}\mathrm{d}\nu <\infty ,$$换言之 $f\in L^1(\mu )$ 且$$\nu (E)={\int }_{E}f\mathrm{d}\mu +\nu (E\cap A).$$于是令 $\lambda =\nu {|}_A$, 即 $\lambda (E)=\nu (E\cap A)$, 则由 $\mu (A)=0$ 知 $\lambda \perp \mu$, 且由上式知 $\nu =f\mu +\lambda$.

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2相关概念

•	条件期望
•	Radon–Nikodym 导数

术语翻译

Radon–Nikodym–Lebesgue 定理 • 英文 Radon–Nikodym–Lebesgue theorem • 法文 théorème de Radon–Nikodym–Lebesgue