Riesz 表示定理

在泛函分析中, Riesz 表示定理是说, Hilbert 空间上的任何连续线性泛函都可以用内积来表示. Riesz 表示定理可以应用于很多涉及 Hilbert 空间的数学分支, 包括偏微分方程理论、测度论等.

1叙述与证明

对 Hilbert 空间 $X$ 及元素 $x,y\in X$, 以 $⟨x,y⟩$ 表示 $x,y$ 的内积.

定理 1.1 (Riesz 表示定理). 设 $f$ 是 Hilbert 空间 $X$ 上的连续线性泛函. 则存在唯一的 $y\in X$, 使得对任意 $x\in X$ 有$$f(x)=⟨x,y⟩.$$

证明. 不妨设 $f$ 非零. 考虑$$M=\{x\in X\mid f(x)=0\},$$它是闭线性子空间. 根据正交分解定理, 存在 $x_0\perp M,\Vert x_0\Vert =1,z\in M$ 使得$$x=\alpha x_0+z,$$其中 $\alpha =f(x)/f(x_0)$, 这是因为 $f(z)=f(x-\alpha x_0)=0$, 得 $f(x)=\alpha f(x_0)$. 两边对 $x_0$ 做内积得$$⟨x,x_0⟩=\alpha ,$$所以$$f(x)=⟨x,x_0⟩f(x_0)=⟨x,\overline{f(x_0)}{x}_0⟩.$$取 $y=\overline{f(x_0)}{x}_0$ 即可.

现在只要证明唯一性. 如果 $y_1,y_2$ 都符合要求, 则$$(x,y_1)=(x,y_2)\Rightarrow (x,y_1-y_2)=0,\forall x\in X,$$令 $x=y_1-y_2$ 得 $y_1=y_2$.

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在定理中还不难发现, $\Vert f\Vert =\Vert y\Vert$ . 于是可以把 $f$ 和 $y$ 视为同一个东西.

这个定理还有一个简易的推广: 共轭双线性函数可以用算子和内积来表示.

定义 1.2. 设 $\mathbb{K}$ 是包含于 $\mathbb{C}$ 的域, $\mathbb{K}$-向量空间 $X$ 上的二元函数 $\alpha :X\times X\to \mathbb{K}$ 称为共轭双线性函数, 如果满足$$\begin{array}{rl}\alpha (a_1{x}_1+a_2{x}_2,y)& =a_1\cdot \alpha (x_1,y)+a_2\cdot \alpha (x_2,y),\\ \alpha (x,a_1{y}_1+a_2{y}_2)& ={\bar{a}}_1\cdot \alpha (x,y_1)+{\bar{a}}_2\cdot \alpha (x,y_2),\end{array}$$其中 $x_1,x_2,y_1,y_2,x,y$ 是 $X$ 的元素, $a_1,a_2\in \mathbb{K}$.

定理 1.3. 设 $a(x,y)$ 是 Hilbert 空间 $X$ 上的共轭双线性函数, 且存在 $M>0$ 使得 $|a(x,y)|\le M\Vert x\Vert \Vert y\Vert$. 则存在 $X$ 上唯一的有界线性算子 $A$ 满足$$a(x,y)=(x,Ay),\forall x,y\in X.$$

证明概要. 固定 $y\in X$, 则 $x\mapsto a(x,y)$ 是连续线性泛函. 根据 Riesz 表示定理, 存在 $z=z(y)\in X$ 使得 $a(x,y)=(x,z(y))$. 令映射 $A:y\mapsto z(y)$, 根据 $a$ 给出的性质不难证明它是线性和有界的算子. 最后仿照 Riesz 表示定理证明中的方法不难证明唯一性.

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2应用

设 $\Omega$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的有界开集, 考虑在偏微分方程中经典的 Poisson 方程的一个 Dirichlet 边值问题: $$\{\begin{array}{rlrl}-\Delta u& =f& & \text{于 }\Omega \text{ 上},\\ u& =0& & \text{于 }\partial \Omega \text{ 上}.\end{array}$$它的弱解是指满足下面式子的 $u\in H_0^1(\Omega )$: $${\int }_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\mathrm{d}x={\int }_{\Omega }fv\mathrm{d}x,\forall v\in H_0^1(\Omega )$$

定理 2.1. 对任意 $f\in H^{-1}(\Omega )$, 上述边值问题的弱解存在唯一.

证明. 先证明存在性. 首先, $$⟨u,v{⟩}_1={\int }_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\mathrm{d}x$$是 $H_0^1(\Omega )$ 上的内积, 且由 Poincaré 不等式, 这一内积诱导的范数 (记为 $\Vert \cdot {\Vert }_1$) 与 $H^1$ 范数等价, 于是$$\begin{array}{r}\left|{\int }_{\Omega }fv\mathrm{d}x\right|\le \Vert f{\Vert }_{H^{-1}}\Vert v{\Vert }_{H^1}\le C\Vert f{\Vert }_{H^{-1}}\Vert v{\Vert }_1.\end{array}$$这表明$$v\mapsto {\int }_{\Omega }fv\mathrm{d}x$$是 $H_0^1(\Omega )$ 上的连续线性泛函. 应用 Riesz 表示定理: 存在 $u\in H_0^1(\Omega )$ 使得$$⟨u,v{⟩}_1={\int }_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\mathrm{d}x={\int }_{\Omega }fv\mathrm{d}x,$$从而 $u$ 是弱解.

至于唯一性, 证明与 Riesz 表示定理中的方法一致.

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Riesz 表示定理还可以用来证明 Radon–Nikodym–Lebesgue 定理, 参见对应条目.

3相关概念

术语翻译

Riesz 表示定理 • 英文 Riesz representation theorem • 德文 Rieszscher Darstellungssatz • 法文 Théorème de représentation de Riesz-Fréchet