Schwarzschild 度规

约定. 在本文中,

• 为简洁起见, 我们设定光速 $c=1$, 引力常数 $G=1$.

Schwarzschild 度规是 Einstein 场方程的基本真空解. 除了 Minkowski 度规, 它是最早被发现的 Einstein 场方程的精确解.

在物理上, 它描述一个球对称恒星的外部引力场.

1定义

定义 1.1. Schwarzschild 度规是在 ${\mathbb{R}}^4$ 上, 球坐标系 $(t,r,\theta ,\varphi )$ 下的如下度规: $$g=-\left(1-\frac{r_{\text{s}}}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{r_{\text{s}}}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2).$$其中 $r_{\text{s}}=2M$ 被称作 Schwarzschild 半径. ($M$ 只是一个参数, 代表星体的质量.)

注 1.2. 当 $r\to \infty$ 时, Schwarzschild 度规近似于 Minkowski 度规. 这与物理上的意义是相容的: 远离重力源时时空趋于平直.

2导出

通过添加静态和球对称的限制, 我们可以把想要的 Einstein 真空解写成$$g=-e^{2A(r)}d{t}^2+e^{2B(r)}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2).$$算出 Ricci 曲率$$\begin{array}{rl}{R}_{tt}& =-e^{2(A-B)}\left(-A^{\prime \prime }+A^{\prime }{B}^{\prime }-A^{\prime 2}-2\frac{A^{\prime }}{r}\right),\\ R_{rr}& =-A^{\prime \prime }+A^{\prime }{B}^{\prime }-A^{\prime 2}+2\frac{B^{\prime }}{r},\\ R_{\theta \theta }& =e^{-2B}\left(e^{2B}-1+r(B^{\prime }-A^{\prime })\right),\\ R_{\varphi \varphi }& ={\sin }^2\theta R_{\theta \theta }.\end{array}$$

代入真空 Einstein 方程 $R_{ab}=0$ 得 $A^{\prime }=-B^{\prime }$. 再代入 $R_{\theta \theta }$ 方程得$$e^{2B}={\left(1+\frac{C}{r}\right)}^{-1}.$$其中 $C$ 待定. 那么就有$$g=-\left(1+\frac{C}{r}\right)d{t}^2+{\left(1+\frac{C}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2).$$为了求出 $C$, 使用低速时 Newton 近似, 径向测地线方程近似于$$\frac{d^2{x}^r}{d{t}^2}=-{\Gamma }_{tt}^r\approx \frac{C}{2r^2}.$$而 Newton 方程$$\frac{d^2{x}^r}{d{t}^2}=-\frac{M}{r^2}$$就给出了 $C=-2M=-r_{\text{s}}$, 即 Schwarzschild 度规.

3坐标系

在 $r=0$ 和 $r=r_{\text{s}}$ 处, Schwarzschild 度规是退化的. 与 $r=0$ 处表现为引力奇点不同的是, $r=r_{\text{s}}$ 只是坐标奇点. 在物理上, $r>r_{\text{s}}$ 当然是正常的空间 (渐进平直区), 而 $r=r_{\text{s}}$ 的超曲面称为事件视界, $r<r_{\text{s}}$ 的地方称为 Schwarzschild 黑洞.

下面是几个依次建立的能够消除坐标奇性的坐标系, 从而能够联系黑洞区和渐进平直区.

乌龟坐标

考虑类光径向测地线 $t=t(\lambda )$, $r=r(\lambda )$, 因为 $\frac{\partial }{\partial t}$ 是一个 Killing 场, 所以测地线方程满足:$$t^{\prime }(\lambda )=-{\left(1-\frac{r_{\text{s}}}{r}\right)}^{-1},$$以及$$t^{\prime }(\lambda {)}^2={\left(1-\frac{r_{\text{s}}}{r}\right)}^{-2}{r}^{\prime }(\lambda {)}^2.$$解得 $r^{\prime }(\lambda )=\pm 1$, 从而代入方程解得$$t(r)=C\pm \left(r+r_{\text{s}}\log \left|\frac{r}{r_{\text{s}}}-1\right|\right).$$其中 $r_{\ast }=r+r_{\text{s}}\log \left|\frac{r}{r_{\text{s}}}-1\right|$ 就被称作乌龟坐标. 测地线代表的即是 $t\pm r_{\ast }$ 为常数. 当光线从 $r>r_{\text{s}}$ 出发时, 以坐标时 $t$ 观测就不可能在有限时间内看到光线穿过事件视界而到达黑洞, 而乌龟坐标则精确地描述了到达事件视界的时间的增长速率.

Eddington–Finkelstein 坐标系

Eddington–Finkelstein 坐标系利用乌龟坐标对 Schwarzschild 度规进行了重写. 定义内向 Eddington–Finkelstein 坐标$$v=t+r_{\ast },t^{\prime }=v-r,$$在坐标系 $(t^{\prime },r)$ 下 Schwarzschild 度规为$$g=-\left(1-\frac{r_{\text{s}}}{r}\right)d{t}^{\prime 2}+\frac{2r_{\text{s}}}{r}d{t}^{\prime }dr+\left(1+\frac{r_{\text{s}}}{r}\right)d{r}^2+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2).$$类光径向测地线方程为 $v=C$ 或 $v-2r_{\ast }=C$, 如图 (红线和蓝线都是测地线):我们把 $t^{\prime }$ 看成新坐标系下的时间坐标, 在此时间下, 蓝线代表内向光线, 通过有限时间后光可以从渐进平直区穿过事件视界进入黑洞区; 红线代表外向光线, 当 $r>r_{\text{s}}$ 时它们会逐渐逃离事件视界, 而当 $r<r_{\text{s}}$ 时它们无法从黑洞区 “跃迁” 至渐进平直区, 且会在有限时间内掉入 $r=0$ 处的引力奇点.

同理可以定义外向 Eddington–Finkelstein 坐标为$$u=t-r_{\ast },t^{\prime }=u-r.$$它具有和内向 Eddington–Finkelstein 坐标相似的几何.

Kruskal 坐标系

虽然直观, 但是 Eddington–Finkelstein 坐标系无法消除 $r=r_{\text{s}}$ 的坐标奇性. 就算在 $u,v$ 坐标系下, 仍然会有项 $-\left(1-\frac{r_{\text{s}}}{r}\right)dudv$ 出现. 但是测地线都是平直的, 所以只需要选取合适的参数化即可. 先只考虑 $r>r_{\text{s}}$ 的情况, 定义如下参数化:$$\{\begin{array}{l}U=-e^{-\frac{u}{2r_{\text{s}}}}\\ V=e^{\frac{v}{2r_{\text{s}}}}.\end{array}$$可以算出 Schwarzschild 度规在此坐标下为$$g=-\frac{4r_{\text{s}}}{r}{e}^{-\frac{r}{r_{\text{s}}}}dUdV+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2).$$这在 $r=r_{\text{s}}$ 时是非退化的. 定义 Kruskal 坐标系为$$T=\frac{1}{2}(V+U),X=\frac{1}{2}(V-U).$$则 Schwarzschild 度规在此坐标下为$$g=\frac{4r_{\text{s}}}{r}(-d{T}^2+d{X}^2)+r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2),$$其中 $r$ 要满足$$X^2-T^2=e^{-\frac{r}{r_{\text{s}}}}\left(\frac{r}{r_{\text{s}}}-1\right).$$此时 $r>r_{\text{s}}$ 对应着 $U,V>0$, 但是无妨考虑整个 $r>0$ 的区域, 即 $X^2-T^2>1$, 在这块区域上 Schwarzschild 度规非退化.如图所示, 两条双曲线是 $r=0$ 的引力奇点; 两条红线是事件视界; 渐进平直区被 I 区代表; 而黑洞区可以更加精确地定义成 II 区, 并且所有内向的光线都将通过事件视界进入黑洞区; III 区代表另外一个渐进平直区, 它和 I 区所发生的事件无因果关系, 互不干扰 (“镜像宇宙”); IV 区称作白洞区, 所有外向的光线都通过事件视界从白洞区进入渐进平直区, 即 I 区.

Penrose 图

Schwarzschild 度规的 Penrose 图定义为如下坐标$$\{\begin{array}{l}{u}^{\prime }=\arctan U\\ v^{\prime }=\arctan V.\end{array}$$在这个坐标系下, 整个 Kruskal 时空共形地被拉到如下的有限图:

4测地线

在小节 (乌龟坐标) 中已经讨论了径向类光的 Schwarzschild 测地线. 对于一般的测地线, 由球对称性知它一定会在一个包含原点的平面里运动, 故不妨设这个平面被 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 决定.

利用类时和转动 Killing 场以及测地线本身的性质, 知测地线此时满足三个方程 (参数化方程, 能量守恒, 角动量守恒):$$\begin{array}{rl}\left(1-\frac{r_{\text{s}}}{r}\right)t^{\prime }(\lambda {)}^2& ={\left(1-\frac{r_{\text{s}}}{r}\right)}^{-1}{r}^{\prime }(\lambda {)}^2+r^2{\varphi }^{\prime }(\lambda {)}^2+\kappa .\\ t^{\prime }(\lambda )& =E{\left(1-\frac{r_{\text{s}}}{r}\right)}^{-1}.\\ {\varphi }^{\prime }(\lambda )& =\frac{L}{r^2}.\end{array}$$其中 $\kappa$ 为$$\kappa =\{\begin{array}{ll}1,& \text{类时测地线}.\\ 0,& \text{类光测地线}.\end{array}$$而 $E$ 和 $L$ 的物理意义是单位质量下的总能量和角动量. 代入得$$r^{\prime }(\lambda {)}^2=E^2-\left(1-\frac{r_{\text{s}}}{r}\right)\left(\frac{L^2}{r^2}+\kappa \right).$$所以得到$$r^{\prime }(\varphi {)}^2=\frac{E^2{r}^4}{L^2}-\left(1-\frac{r_{\text{s}}}{r}\right)\left(r^2+\kappa \frac{r^4}{L^2}\right).$$利用换元 $u=r^{-1}$, 得方程$$u^{\prime }(\varphi {)}^2=\frac{E^2}{L^2}-\left(1-u{r}_{\text{s}}\right)\left(u^2+\frac{\kappa }{L^2}\right).$$(1)若右边的三次多项式有三个根 $u_1$, $u_2$, $u_3$, 则解得 $u$ 为$$u(\varphi )=u_1+(u_2-u_1){\mathrm{sn}}^2\left(\frac{1}{2}\sqrt{r_{\text{s}}(u_3-u_1)}\varphi +\delta ;\sqrt{\frac{u_2-u_1}{u_3-u_1}}\right).$$(2)其中 $\delta$ 代表初始位置, $\mathrm{sn}(n;k)$ 代表 Jacobi 椭圆正弦.

5天文学的实验验证

引力红移

引力红移指的是远离引力源时, 光的频率变低, 波长变长.

设光的世界线为 $\mathbf{p}=\mathbf{p}(\tau )$. 静态观者在 $A$, $B$ 两点测得的光的波长 $\lambda$, ${\lambda }^{\prime }$ 满足$$\frac{\lambda }{{\lambda }^{\prime }}=\frac{⟨{\mathbf{p}}^{\prime }(\tau ){|}_B,{\partial }_B⟩}{⟨{\mathbf{p}}^{\prime }(\tau ){|}_A,{\partial }_A⟩},$$其中 ${\partial }_A$, ${\partial }_B$ 分别代表类时单位向量. 由于 $\frac{\partial }{\partial t}$ 是 Killing 场, 故有 $⟨{\mathbf{p}}^{\prime }(\tau ){|}_B,\frac{\partial }{\partial t}⟩=⟨{\mathbf{p}}^{\prime }(\tau ){|}_A,\frac{\partial }{\partial t}⟩$. 从而$$\frac{\lambda }{{\lambda }^{\prime }}=\frac{\sqrt{1-\frac{r_{\text{s}}}{r_A}}}{\sqrt{1-\frac{r_{\text{s}}}{r_B}}}.$$这说明当 $r_B>r_A$ 时波长增大, 且增大的程度被红移因子 $\sqrt{1-\frac{r_{\text{s}}}{r}}$ 代表.

近日点进动

解 (2) 的正质量 Newton 近似为$$u=u_1+(u_2-u_1){\sin }^2\left(\frac{1}{2}\varphi +\delta \right),$$代表离心率为 $\frac{u_2-u_1}{u_2+u_1}$ 的圆锥曲线, 与 Kepler 定律相符合, 即行星轨道是以恒星为其中一个焦点的椭圆. 但是实验验证其近日点并不是不变的, 它会规律地绕恒星转动, 这被称作近日点进动. Schwarzschild 度规对行星轨道的修正能够推导出近日点的进动, 并且与实验数据吻合.

由于 $\mathrm{sn}$ 的周期为 $2K$, 其中 $K$ 为椭圆积分$$K={\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-\frac{u_2-u_1}{u_3-u_1}{x}^2)}}dx,$$知每一次 $u$ 回到最大值时 $\varphi$ 的变化为 (在 Newton 近似的意义下)$$\Delta \varphi =\frac{4K}{\sqrt{r_{\text{s}}(u_3-u_1)}}=\frac{4K}{\sqrt{1-r_{\text{s}}(u_2+2u_1)}}\approx 4K+2K{r}_{\text{s}}(u_2+2u_1).$$下面估算 $K$:$$\begin{array}{rl}K& \approx {\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left(1+\frac{1}{2}\frac{u_2-u_1}{u_3-u_1}{x}^2\right)dx\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left(1+\frac{1}{2}\frac{u_2-u_1}{u_3-u_1}{\sin }^{2}y\right)dy\\ & =\frac{\pi }{2}\left(1+\frac{1}{4}\frac{u_2-u_1}{u_3-u_1}\right).\end{array}$$而 Newton 近似给出 $\frac{u_2-u_1}{u_3-u_1}\approx r_{\text{s}}(u_2-u_1)$. 从而一个周期造成的 $\varphi$ 的偏移量近似为$$\delta \varphi =\Delta \varphi -2\pi \approx \frac{3}{2}\pi r_{\text{s}}(u_1+u_2).$$然而 $u_1$, $u_2$ 分别代表长轴, 短轴的倒数, 故有$$\delta \varphi \approx \frac{6\pi M}{A(1-e^2)}.$$

星光偏折

当光线从无穷远处经过引力源附近, 由于引力的 “拉扯”, 它的方向将会改变, 这个现象叫星光偏折.

解 (2) 的 $0$ 质量 Newton 近似也为$$u=u_1+(u_2-u_1){\sin }^2\left(\frac{1}{2}\varphi +\delta \right),$$也代表离心率为 $\frac{u_2-u_1}{u_2+u_1}$ 的圆锥曲线, 但是因为 $u_1<0<u_2$ 知其是一条双曲线, 并且离心率可以近似为$$\frac{u_2-u_1}{u_2+u_1}\approx \frac{2L}{r_{\text{s}}E}.$$故偏折角 $\delta$ 满足$$\tan \delta =\frac{1}{\sqrt{{\left(\frac{2L}{r_{\text{s}}E}\right)}^2-1}}.$$从而$$\delta \approx \frac{2r_{\text{s}}E}{L}=\frac{4ME}{L}.$$

术语翻译

Schwarzschild 度规 • 英文 Schwarzschild metric • 德文 Schwarzschild-Metrik • 法文 métrique de Schwarzschild