Sylow 定理

Sylow 定理是一组关于有限群的结论. 对素数 $p$ 而言, 有限群 $G$ 的 Sylow $\mathbf{p}$-子群是指 $G$ 的 $p^n$ 阶子群, 其中 $p^n\mid |G|$ 但 $p^{n+1}\nmid |G|$, 而 Sylow 定理描述了 Sylow 子群的存在性及其性质.

1定理与证明

在本节中, 固定以下假设: 设 $G$ 是有限群, $p$ 是素数, 且 $|G|=p^{n}m$, 其中 $n$ 是非负整数, $m$ 是与 $p$ 互素的正整数.

定义 1.1 (Sylow 子群). 在上述假设下, 子群 $H\subset G$ 称为 Sylow $\mathbf{p}$-子群, 如果$$|H|=p^n.$$

定理 1.2 (Sylow 第一定理). Sylow $p$-子群存在.

证明. 记 $U=\{X\subset G\mid |X|=p^n\}$ 为 $G$ 的 $p^n$ 元子集之集. 则$$|U|=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p^{n}m}{p^n}\right)\equiv m(\mathrm{mod}p).$$因此, $p\nmid |U|$. 而 $G$ 通过左乘作用于 $U$, 故存在轨道 $O\subset U$ 使得 $p\nmid |O|$. 取 $X\in O$, 设 $H\subset G$ 是 $X$ 的稳定子, 从而 $|O|=[G:H]$, 故 $p^n\mid |H|$. 另一方面, 取 $x\in X$, 则 $Hx\subset X$, 从而 $|H|=|Hx|\le |X|=p^n$. 因此, $|H|=p^n$, 故 $H$ 是 $G$ 的 Sylow $p$-子群.

$\square$

定理 1.3 (Sylow 第二定理). $G$ 的所有 Sylow $p$-子群都共轭.

证明. 设 $H_1,H_2\subset G$ 为 Sylow $p$-子群. 则 $H_2$ 通过左乘作用于 $H_1$ 的左陪集之集 $G/H_1$. 该作用的轨道大小必为 $p$ 的幂, 从而其不动点 (即 $1$ 个元素的轨道) 的个数模 $p$ 同余于 $|G/H_1|$. 因为 $p\nmid |G/H_1|$, 所以该作用存在不动点, 设为 $x{H}_1$. 则对任意 $y\in H_2$, 有 $yx{H}_1=x{H}_1$, 也即 $x^{-1}yx{H}_1=H_1$, 故而 $x^{-1}yx\in H_1$. 因此 $x^{-1}{H}_{2}x\subset H_1$, 而两边元素个数相等, 故 $x^{-1}{H}_{2}x=H_1$.

$\square$

定理 1.4 (Sylow 第三定理). 设 $G$ 的 Sylow $p$-子群个数为 $s$. 则

•	$s\mid m$.
•	$s\equiv 1(\mathrm{mod}p)$.

证明. 设 $S$ 为所有 Sylow $p$-子群的集合, 设 $H\in S$. 则 $H$ 通过共轭作用于 $S$ 上. 该作用的轨道大小必为 $p$ 的幂, 从而 $s\equiv |S^H|(\mathrm{mod}p)$, 其中 $S^H$ 为不动点的集合.

我们说明 $S^H=\{H\}$. 设 $K\in S^H$, 则对任何 $x\in H$ 有 $xK{x}^{-1}=K$, 从而 $H\subset {\mathrm{N}}_G(K)$, 其中 ${\mathrm{N}}_G(K)$ 是 $K$ 的正规化子. 注意到 $H,K$ 都是 ${\mathrm{N}}_G(K)$ 的 Sylow $p$-子群, 故由 Sylow 第二定理 (1.3), 知它们共轭. 而 $K$ 是 ${\mathrm{N}}_G(K)$ 的正规子群, 从而 $H=K$. 这样, 我们就证明了 $s\equiv |S^H|=1(\mathrm{mod}p)$.

再来证明 $s\mid m$. 由 Sylow 第二定理 (1.3), 知 $G$ 在 $S$ 上的共轭作用只有一个轨道, 故 $s\mid |G|$. 而我们已经证明 $p\nmid s$, 从而 $s\mid m$.

$\square$

2应用

(…)

术语翻译

Sylow 定理 • 英文 Sylow theorems • 德文 Sylow-Sätze • 法文 théorèmes de Sylow