素数

素数 (或质数) 是恰好有两个正因数 (即 和它本身) 的自然数. 最小的一些素数为

素数和它们的相反数构成了整数 中所有的素元, 也是所有的不可约元.

素理想极大理想是素数概念在一般环中的自然推广.

1定义

定义 1.1 (素数). 整数 称为素数, 如果 , 并且 恰好有两个正因数, 即 .

注 1.2. 按照定义 1.1, 不是素数, 因为它只有一个正因数, 即它本身. 这是平凡对象不是单对象的一个例子.

2性质

素数有无穷多个.

对于任意素数 , 若 , 则 或者 , 其中 为整数.

任意大于 的整数均可表示为一列素数的幂的乘积. 参见算术基本定理. 作为推论, 可以将 Riemann 函数写成所谓 Euler 乘积形式, 即这一重要的写法开启了素数分布的精确定量研究. 最直观地, 从调和级数的发散性立刻看出素数有无穷多个.

根据 Dirichlet 素数定理, 设 互素整数且 , 则等差数列 中包含无穷多素数.

根据 Green-陶定理, 对任何 , 存在一个 项等差数列, 都由素数构成.

素数的渐近分布服从素数定理: 如果用 表示不超过正数 的素数个数, 那么我们有一般简写作 . 素数的分布的误差项和 Riemann 函数的非平凡零点分布密切相关.

因为 交换环 极大理想, 故 , 记作 . 它们是一类重要的有限域, 注意到特征 的域都包含  ; 而因为它们都没有真子域, 因此诸 都是素域.

的乘法群 包含该域中除零元外的全体元素, 它们构成域的有限乘法群, 故 元的循环群. 由此可以说, 中的元素都是单位根. 最直接的两个推论是 Fermat 小定理以及原根的存在性.

3相关概念

术语翻译

素数英文 prime number德文 Primzahl (f)法文 nombre premier (m)拉丁文 numerus primus (m)古希腊文 πρῶτος ἀριθμός (m)