素数

素数 (或质数) 是恰好有两个正因数 (即 $1$ 和它本身) 的自然数. 最小的一些素数为$$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,\dots$$

素数和它们的相反数构成了整数环 $\mathbb{Z}$ 中所有的素元, 也是所有的不可约元.

素理想和极大理想是素数概念在一般环中的自然推广.

1定义

定义 1.1 (素数). 整数 $p\in \mathbb{Z}$ 称为素数, 如果 $p>0$, 并且 $p$ 恰好有两个正因数, 即 $1$ 和 $p$.

注 1.2. 按照定义 1.1, $1$ 不是素数, 因为它只有一个正因数, 即它本身. 这是平凡对象不是单对象的一个例子.

2性质

•	素数有无穷多个.
•	对于任意素数 $p$ , 若 $p\mid ab$, 则 $p\mid a$ 或者 $p\mid b$ , 其中 $a,b$ 为整数.
•	任意大于 $1$ 的整数均可表示为一列素数的幂的乘积. 参见算术基本定理. 作为推论, 可以将 Riemann $\zeta$ 函数写成所谓 Euler 乘积形式, 即$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}=\prod _{p\text{是素数}}\frac{1}{1-p^{-s}}.$$这一重要的写法开启了素数分布的精确定量研究. 最直观地, 从调和级数的发散性立刻看出素数有无穷多个.
•	根据 Dirichlet 素数定理, 设 $a,b$ 是互素整数且 $a>0$, 则等差数列 $\{an+b\mid n\in \mathbb{N}\}$ 中包含无穷多素数.
•	根据 Green-陶定理, 对任何 $n\ge 3$, 存在一个 $n$ 项等差数列, 都由素数构成.
•	素数的渐近分布服从素数定理: 如果用 $\pi (x)$ 表示不超过正数 $x$ 的素数个数, 那么我们有$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\pi (x)\log x}{x}=1,$$一般简写作 $\pi (x)\sim x/\log x$. 素数的分布的误差项和 Riemann $\zeta$ 函数的非平凡零点分布密切相关.
•	因为 $(p)$ 是交换环 $\mathbb{Z}$ 的极大理想, 故 $\mathbb{Z}/(p)$ 是域, 记作 ${\mathbb{F}}_p$. 它们是一类重要的有限域, 注意到特征 $p$ 的域都包含 ${\mathbb{F}}_p$ ; 而因为它们都没有真子域, 因此诸 ${\mathbb{F}}_p$ 都是素域.
•	${\mathbb{F}}_p$ 的乘法群 ${\mathbb{F}}_p^{\times }$ 包含该域中除零元外的全体元素, 它们构成域的有限乘法群, 故 ${\mathbb{F}}_p^{\times }$ 是 $p-1$ 元的循环群. 由此可以说, ${\mathbb{F}}_p^{\times }$ 中的元素都是单位根. 最直接的两个推论是 Fermat 小定理以及原根的存在性.

3相关概念

术语翻译

素数 • 英文 prime number • 德文 Primzahl (f) • 法文 nombre premier (m) • 拉丁文 numerus primus (m) • 古希腊文 πρῶτος ἀριθμός (m)