Thurston 范数

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设 M 是一个紧致, 可定向, 不可约的连通三维流形 (可能带边), 则 M 的 Thurston 范数是一个定义在 $H_2(M,\partial M;\mathbb{R})$ 上的半范数, 且在合理的条件下成为一个范数.

Thurston 范数衡量了一个同调类 $\sigma \in H_2(M,\partial M;\mathbb{R})$ 的拓扑复杂程度, 亦可以看做扭结的亏格这一概念的推广. Thurston 范数与三维流形的叶状结构, Gabai 的 sutured 三维流形分解, 以及三维流形的纤维化结构等重要拓扑结构紧密连接, 是现代三维流形研究中的中心问题.

定义 0.1 (曲面的拓扑复杂度). 对于一个可定向紧致连通曲面 $\Sigma$, 定义曲面 $\Sigma$ 的拓扑复杂度为$${\chi }_{-}(\Sigma ):=\max \{0,-\chi (\Sigma )\}.$$其中 $\chi (\Sigma )$ 为曲面的欧拉示性数. 如果 $\Sigma$ 有若干个连通分支, 则定义其拓扑复杂度为各连通分支的拓扑复杂度之和.

由定义可以看出曲面有非平凡的复杂度当且仅当其欧拉示性数小于零, 而且此时曲面的拓扑复杂度与其双曲面积成正比.

定义 0.2 (整同调的 Thurston 范数). 设 $M$ 是一个紧致, 可定向, 不可约的连通三维流形. 对任意 $\sigma \in H_2(M,\partial M;\mathbb{Z})$, 令$$\xi (\sigma ):=\min \{{\chi }_{-}(\Sigma )\mid (\Sigma ,\partial \Sigma )嵌入(M,\partial M),且[\Sigma ,\partial \Sigma ]=\sigma \}.$$其中 $[\Sigma ,\partial \Sigma ]$ 是带紧曲面 $(\Sigma ,\partial \Sigma )$ 的基本类在 $H_2(M,\partial M;\mathbb{Z})$ 中的像. 这定义了一个映射$$\xi :H_2(M,\partial M;\mathbb{Z})\to \mathbb{Z}.$$这个映射是取值在整同调上的 Thurston 范数.

这个定义需要诸多阐释. 首先, 任何 $\sigma \in H_2(M,\partial M;\mathbb{Z})$ 都可以被嵌入的紧曲面的基本类所代表. 这是一个熟知事实, 简单来说, 设 $\sigma$ 的庞加莱对偶为 $\varphi \in H^1(M;\mathbb{Z})$, 那么在同伦意义下, $\varphi$ 决定了一个 $M$ 到圆周 $S^1$ 的一个映射 $\Phi :M\to S^1$. 不妨设 $\Phi$ 是光滑映射, 其任何一个正则点原像就是所求的嵌入紧曲面.

其次, 由定义 $\xi$ 的取值为非负整数. 下面的定理说明了为什么这被称之为 “范数”.

定理 0.3 (Thurston). 映射 $\xi$ 具有如下性质:

(i) 齐次性: 对任意整数 $n$ 和 $\sigma \in H_2(M,\partial M;\mathbb{Z}),$ 有 $\xi (n\sigma )=|n|\xi (\sigma )$.

(ii) 次可加性: 对任意 ${\sigma }_1,{\sigma }_2\in H_2(M,\partial M;\mathbb{Z}),$ 有 $\xi ({\sigma }_1+{\sigma }_2)⩽\xi ({\sigma }_1)+\xi ({\sigma }_2)$.

最后, 因为齐次性, 映射 $\xi$ 可以定义到任何有理系数的同调类上, 进而由于次可加性, 可以定义到实系数同调类上, 这就导出了下面的定义.

定理 0.4 (Thurston 范数). Thurston 范数 $\xi$ 是实线性空间 $H_2(M,\partial M;\mathbb{R})$ 上的半范数.