Vojta 字典

在数论特别是 Diophantus 逼近中, Vojta 字典给出了 Roth 定理和 Nevanlinna 理论的精确的对应. 在 Osgood 观察到 Roth 定理的陈述非常类似于 Nevanlinna 第二主定理后, Vojta 于其博士论文中建立了完整的对应, 联系了 Nevanlinna 理论与数论两个研究风格完全不同的领域.

1单变量情形时的字典

Nevanlinna 理论	Roth 定理
$f:\mathbf{C}\to \mathbf{C}$, 非常值	$\{b\}\subset k$, 无限
$r$	$b$
$\theta$	$v\in S$
$f(r{e}^{i\theta })$	$\Vert b{\Vert }_v,v\in S$
${\text{ord}}_{z}f$	${\text{ord}}_{v}f,v\notin S$
$\log \frac{r}{|z|}$	$\log N_v$
特征函数$$T(r)={\int }_0^{2\pi }{\log }^{+}|f(r{e}^{i\theta })|\frac{\text{d}\theta }{2\pi }+N(\infty ,r)$$	对数高度$$h(b)=\frac{1}{[k:\mathbf{Q}]}\sum _v{\log }^{+}\Vert b{\Vert }_v$$
邻近函数$$m(a,r)={\int }_0^{2\pi }{\log }^{+}\left|\frac{1}{f(r{e}^{i\theta })-a}\right|\frac{\text{d}\theta }{2\pi }$$	邻近函数$$m(a,b)=\frac{1}{[k:\mathbf{Q}]}\sum _{v\in S}{\log }^{+}{\Vert \frac{1}{b-a}\Vert }_v$$
计数函数$$N(a,r)=\sum _{|w|<r}\log \frac{r}{|w|}$$	计数函数$$N(a,b)=\frac{1}{[k:\mathbf{Q}]}\sum _{v\notin S}{\log }^{+}{\Vert \frac{1}{b-a}\Vert }_v$$
第一主定理$$N(a,r)+m(a,r)=T(r)+O(1)$$	高度的性质$$N(a,b)+m(a,b)=h(b)+O(1)$$
第二主定理$$\sum _{i=1}^{m}m(a_i,r)\le 2T(r)-N_1(r)+O(r\log T(r))$$	Roth 猜测的改良$$\sum _{i=1}^{m}m(a_i,b)\le 2h(b)+O(\log h(b))$$
$$\delta (a)=\underset{r\to \infty }{\mathrm{liminf}}\frac{m(a,r)}{T(r)}$$	$$\delta (a)=\underset{b}{\mathrm{liminf}}\frac{m(a,b)}{h(b)}$$
$\delta$ 关系$$\sum _{a\in \mathbf{C}}\delta (a)\le 2$$	Roth 定理$$\sum _{a\in k}\delta (a)\le 2$$
Jensen 公式$$\log |c_{\lambda }|={\int }_0^{2\pi }\log |f(r{e}^{i\theta })|\frac{\text{d}\theta }{2\pi }+N(\infty ,r)-N(0,r)$$	算术 Jensen 公式$$\sum _v\log \Vert b{\Vert }_v=0$$