三间隙定理

三间隙定理是组合学中的定理, 它是说, 若将 $(n+1)$ 个点放在圆周上辐角为 $0,\theta ,2\theta ,\dots ,n\theta$ 的位置, 则相邻点对所夹的圆弧角度最多能取三个不同的值. 等价地说, 对于任何实数 $\alpha$ 和自然数 $n$, 实数 $\alpha ,2\alpha ,\dots ,n\alpha$ 的小数部分将 $[0,1]$ 分成的子区间最多有三个不同长度.

1证明

将 $n$ 个点放在圆周上辐角为 $\theta ,2\theta ,\dots ,n\theta$ 的位置, 定义间隙为在两个相邻位置的点之间的圆弧所对的圆心角.

如果间隙的端点在 $\theta$ 的倍数序列中出现得晚于任何其他相同长度的间隙, 则将其定义为末间隙. 根据这个定义, 对每个间隙长度, 都有唯一的末间隙, 具有此长度.

如果 $A$ 是末间隙, 则旋转 $\theta$ 为 $A+\theta$ 不是间隙 (因为它具有相同的长度并且端点出现得晚一步) . 发生这种情况可能是 $A$ 的端点之一为最后一个点 $n\theta$ (这样 $A+\theta$ 的一个端点 $(n+1)\theta$ 不是给定点) , 或者 $n$ 个点 $\theta ,2\theta ,\dots ,n\theta$ 之一落在 $A+\theta$ 内 (因为间隙的两个端点必须在圆上相邻) .

这个落在 $A+\theta$ 内的点只可能是第一个点 $\theta$ (否则在序列中的前一个点将落在弧 $A$ 内, 与 $A$ 是间隙的假设相矛盾) , 因此 $0$ 落在弧 $A$ 内.

因此, 最多有 3 个末间隙, 点 $n\theta$ 的左、右侧各 1 个, 最后一个是使得 $0$ 落在它内的间隙.

因为最多有 3 个末间隙, 所以最多有 3 个间隙长度.

术语翻译

三间隙定理 • 英文 three-gap theorem • 法文 théorème des trois longueurs