圆周

圆周 $S^1$ 是如下图所示的拓扑空间:

圆周是球面的一维特例, 是一维光滑流形, 也是同胚、微分同胚意义下唯一的一维紧、连通流形.

1定义

定义 1.1. 圆周 $S^1$ 定义为 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^2$ 的子空间$$S^1=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2=1\}.$$

上述具体的 ${\mathbb{R}}^2$ 的子空间也称为单位圆周, 而一般的圆周是指同胚于该空间的拓扑空间.

也常常将圆周视为复平面 $\mathbb{C}$ 的子空间$$\{z\in \mathbb{C}\mid |z|=1\}.$$

2性质

•	圆周的基本群是 ${\pi }_1(S^1)\simeq \mathbb{Z}$, 其万有覆叠由映射$$\begin{array}{rl}\mathbb{R}& ⟶S^1,\\ t& ⟼{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}t}\end{array}$$给出, 这里将 $S^1$ 视为 $\mathbb{C}$ 的子空间. 当 $n>1$ 时, 圆周的同伦群 ${\pi }_n(S^1)\simeq 0$.

•	圆周是 $\mathbb{Z}$ 的分类空间 $\mathrm{B}\mathbb{Z}$, 也是 Eilenberg–Mac Lane 空间 $K(\mathbb{Z},1)$,

•	圆周具有 Lie 群的结构, 即酉群 $\mathrm{U}(1)$.

3相关概念

•	圆周 (同伦类型论)

术语翻译

圆周 • 英文 circle • 德文 Kreislinie (f) • 法文 cercle (m) • 日文 円周 (えんしゅう)