伴随 (范畴论)

伴随是个 $2$-范畴概念, 是伴随函子的推广, 把它从 $2$-范畴 $\mathsf{Cat}$ 推广到任一 $2$-范畴.

1定义

定义 1.1. 设 $\mathcal{C}$ 是 $2$-范畴, $f:x\to y$ 是其中的 $1$-态射. 称 $f$ 为左伴随, 指的是存在 $1$-态射 $g:y\to x$ 和 $2$-态射 $\eta :1_x\to gf$, $\epsilon :fg\to 1_y$, 使得 $f\eta$ 和 $\epsilon f$ 的复合 $f\to fgf\to f$ 是 $1_f$, 而 $\eta g$ 和 $g\epsilon$ 的复合 $g\to gfg\to g$ 是同构. 此时称 $g$ 为 $f$ 的右伴随, $(f,g)$ 为伴随对, $\eta$ 为此伴随对的幺, $\epsilon$ 为余幺.

注 1.2. 事实上复合 $2$-态射 $g\to gfg\to g$ 也会是 $1_g$.

2例子

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(伴随函子)

•	(幺半 $1$-范畴的对偶对象取分类 $2$-范畴)

3相关概念

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单子

术语翻译

伴随 • 英文 adjoint