单子

单子范畴论的基本概念, 抽象出自由函子带有的范畴论结构.

1定义

定义 1.1. 范畴 上的单子幺半范畴 中的结合代数. 换言之, 它包括如下结构:

自函子 ;

自然变换 , 使得 , .

注意 自带幺半范畴 的左模结构. 单子 , 或称 中的 -代数, 指它在 中的模对象. 换言之, 它包括如下结构:

对象 ;

映射 , 使得 , .

它们构成的范畴记作 .

注意上面的定义只用到了范畴的范畴 -范畴结构, 故可推广如下:

定义 1.2. -范畴 中的单子指对象 附带幺半范畴 中的结合代数. 换言之, 它包括如下结构:

对象 ;

-态射 ;

-态射 , 使得 , .

, 范畴 自带幺半范畴 的左模结构. 单子 上的指它在 中的模对象. 换言之, 它包括如下结构:

-态射 ;

-态射 , 使得 , .

在定义 1.2 中取 范畴的范畴, 取 单点范畴, 即得定义 1.1.

2例子

各种代数结构的自由函子都构成单子. 例如:

自由群函子 上的单子, 其两个自然变换分别是自然含入 的群结构给出的映射 . 此单子的模就是.

把集合视为离散拓扑空间, 则 Stone–Cech 紧化函子 上的单子, 其两个自然变换分别是自然含入 以及由 Hausdorff 得到的映射 . 此单子的模就是紧 Hausdorff 空间.

更一般地, 对任意伴随函子 , 复合函子 都是 上的单子, 其两个自然变换分别是 , 其中 是伴随函子的幺, 是伴随函子的余幺. 详见单子性条目. 取自由–遗忘伴随即得上例.

3高阶范畴中

4相关概念

单子性

术语翻译

单子英文 monad日文 モナド