半单环

半单环指的是它作为自身的模是半单模的那些环, Artin–Wedderburn 定理 (定理 3.1) 说明, 半单环一定是除环上的矩阵环的乘积.

1定义

定义 1.1. 一个环 $R$ 称为半单的, 如果 $R$ 作为 $R$-右模是半单模.

注 1.2. 可以把如上作为右半单环的定义, 相应地定义左半单环. 但是由 Artin–Wedderburn 定理 (定理 3.1) 可见, 左半单环和右半单环等价.

2性质

半单环和半单模可以如下联系:

命题 2.1. 半单环 $R$ 上的模都是半单 $R$-模.

证明. 任何 $R$ 模都是自由 $R$ 模的商模, 而半单性在直和、取商下保持, 故任何 $R$ 模半单.

$\square$

半单环也可以和 Artin 环联系:

命题 2.2. 半单环正是那些 Jacobson 根为 $0$ 的 Artin 环.

(...)

3分类

半单环有很好的结构:

定理 3.1 (Artin–Wedderburn). 所有半单环 $R$ 都有如下形式: $$R\simeq M_{n_1}(D_1)\times \cdots \times M_{n_k}(D_k).$$其中 $D_i$ 是除环, $M_n(R)$ 是 $R$ 上 $n$ 阶矩阵环. 并且, 这个表达式在不计顺序的意义下是唯一的.

证明见主条目 Artin–Wedderburn 定理.

推论 3.2. 交换半单环都是如下的形式: $$F_1\times \cdots \times F_n,$$其中 $F_i$ 是域.

4例子

•	如果 $\mathrm{char}k=0$, $G$ 是有限群, 则 $k[G]$ 是半单的 (Maschke 定理).
•	(...)

5相关概念

•	半单模
•	Artin 环

术语翻译

半单环 • 英文 semisimple ring • 德文 halbeinfacher Ring • 法文 anneau semi-simple • 拉丁文 anellus semisimplex • 古希腊文 ἡμιάπλους δακτύλιος