单位元

二元运算 $\ast$ 的单位元是元素 $e$, 满足单位律$$a\ast e=e\ast a=a.$$习惯上, 若该二元运算记作乘法, 则单位元又称为幺元, 常记为 $1$; 若该二元运算记作加法, 则单位元又称为零元, 常记为 $0$.

1定义

定义 1.1 (单位元). 设集合 $X$ 上有二元运算 $\ast$, 设 $e\in X$. 若对任意 $a\in X$, 有右单位律$$a\ast e=a,$$则称 $e$ 为右单位元. 类似, 若对任意 $a\in X$, 有左单位律$$e\ast a=a,$$则称 $e$ 为左单位元. 若 $e$ 同时是左单位元与右单位元, 则称 $e$ 为单位元.

2性质

单位元若存在就唯一. 更一般地,

命题 2.1. 设 集合 $X$ 上的二元运算 $\ast$ 有左单位元和右单位元. 则存在单位元 $e$. 进一步地, $e$ 是唯一的左单位元, 也是唯一的右单位元.

证明. 设 $l$ 为任意左单位元, $r$ 为任意右单位元, 则$$l=l\ast r=r.$$由此易得结论.

$\square$

术语翻译

单位元 • 英文 unit element