压缩映射定理

压缩映射定理, 又称 Banach 不动点定理是拓扑学中的基本结论, 它在分析学的很多领域中有重要应用. 它是说如果一个完备度量空间的自映射一致压缩两点之间的距离, 那么它有唯一的不动点.

1陈述

定理 1.1. 设 $(X,d)$ 是完备度量空间, $f:X\to X$ 是映射, 满足存在 $q\in [0,1)$ , 使得对任意 $x,y\in X$, $$d(f(x),f(y))\le qd(x,y)$$则 $f$ 有唯一的不动点.

证明. 任取一点 $x\in X$, 考虑点列 $\{f^n(x)\}$, $n\in \mathbb{N}$. 则有$$d(f^n(x),f^{n+1}(x))\le q^{n}d(x,f(x))$$从而对任意 $m>n$, 有$$d(f^n(x),f^m(x))\le \sum _{k=n}^{m-1}{q}^{k}d(x,f(x))\le \frac{q^n}{1-q}d(x,f(x)).$$它在 $n\to \infty$ 时趋于 $0$, 因此 $\{f(x)\}$ 是 Cauchy 列, 由完备知它收敛到一点 $x_0$. 由 $x_0$ 的定义知它是不动点. 存在性得证.

如果有两个不动点 $x_0,y_0$, 则$$d(x_0,y_0)\le d(f(x_0),f(y_0))\le qd(x_0,y_0)$$因此 $d(x_0,y_0)=0$, 即有 $x_0=y_0$. 唯一性得证.

$\square$

2应用

•	压缩映射定理可用于证明常微分方程解的存在唯一性.

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术语翻译

Banach 不动点定理 • 英文 Banach fixed point theorem • 德文 Fixpunktsatz von Banach • 法文 théorème du point fixe de Banach