可测函数

可测函数 (或可测映射) 是可测空间之间的映射, 它与可测空间的结构相容.

1定义

定义 1.1 (可测函数). 设 $(X,\mathcal{A})$ 与 $(Y,\mathcal{B})$ 为可测空间. 它们之间的可测函数是指映射$$f:X\to Y,$$使得可测集的原像仍是可测集. 换言之, 对任意 $B\in \mathcal{B}$, 都有 $f^{-1}(B)\in \mathcal{A}$.

上述定义的一个常见情况是 $Y=\mathbb{R}\text{ 或 }\mathbb{C}$, 且 $\mathcal{B}$ 为 $Y$ 的 Borel $\sigma$-代数. 此时的定义可以重新叙述如下:

定义 1.2 (实值、复值可测函数). 可测空间 $(X,\mathcal{A})$ 上的实值 (或复值) 可测函数是指映射$$f:X\to \mathbb{R}\text{ 或 }\mathbb{C},$$使得开集的原像是可测集.

等价地说, $f$ 是到可测空间 $(\mathbb{R},{\mathcal{B}}_{\mathbb{R}})$ 或 $(\mathbb{C},{\mathcal{B}}_{\mathbb{C}})$ 的可测函数, 其中 ${\mathcal{B}}_{\mathbb{R}}$ 和 ${\mathcal{B}}_{\mathbb{C}}$ 分别是 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 的 Borel $\sigma$-代数.

术语翻译

可测函数 • 英文 measurable function • 德文 messbare Funktion (f) • 法文 fonction mesurable (f) • 拉丁文 functio mensibilis (f) • 古希腊文 μετρητὴ συνάρτησις (f)