开集

开集是拓扑空间中的一种基本的概念. 开集是实数上开区间的推广, 指拓扑空间中满足以下性质的集合: 它的每个点都在它的内部, 也就是说, 从那个点的视角看, 与它离得足够近的所有点都在该开集内. 例如, 闭区间因为有端点而不满足这个性质.

1定义

Euclid 空间中的开集

定义 1.1 (Euclid 空间中的开集). 设 $n\in \mathbb{N}$. 集合 $U\subset {\mathbb{R}}^n$ 称为开集, 如果它满足以下条件:

•	对任意 $x\in U$, 存在实数 $\delta >0$, 使得开球$$B_{\delta }(x)=\{x^{\prime }\in {\mathbb{R}}^n\mid |x-x^{\prime }|<\delta \}$$包含于 $U$.

这些开集定义了 ${\mathbb{R}}^n$ 上的一个拓扑, 称为 Euclid 拓扑.

例 1.2 ($\mathbb{R}$ 中的开集). $\mathbb{R}$ 中的开集一定是至多可数个开区间的无交并.

证明. 我们先证明 $\mathbb{R}$ 中连通集一定是区间. 设 $I$ 是 $\mathbb{R}$ 中一个连通集但不是区间, 则存在 $a<b<c,a,c\in I,b\notin I$. 于是 $a\in I\cap (-\infty ,b)\ne \varnothing ,c\in I\cap (b,+\infty )\ne \varnothing$, $I=(I\cap (-\infty ,b))\bigsqcup (I\cap (b,+\infty ))$, 这与 $I$ 的连通性矛盾, 于是得证.

$\mathbb{R}$ 中的开集一定是它所有连通分支的无交并. 于是, 设 $X$ 是 $\mathbb{R}$ 中一开集, $X={⨆}_{i\in J}{I}_i$, 其中 $I_i$ 是 $X$ 的连通分支, 它一定是区间. 我们来证明 $I_i$ 都是开区间. 设 $I_i$ 不是开区间, 不妨设 $a\in I_i$ 是 $I_i$ 的最小值, $I_i$ 含有最大值的情况同此可证. 由于 $X$ 是开集, 存在开球 $B_{ϵ}(a)=(a-ϵ,a+ϵ)\subset X,ϵ>0$, 显然 $B_{ϵ}(a)\cup I_i$ 也是一个区间, 是 $X$ 的一个连通子集; 而它真包含 $I_i$, 这和 $I_i$ 是 $X$ 的连通分支矛盾. 于是 $I_i$ 均是开区间.

由于 $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密, 对于所有 $i\in J$, 可以取 ${\alpha }_i\in I_i\cap \mathbb{Q}$, 而且对于 $i,j\in J,i\ne j$, 一定有 ${\alpha }_i\ne {\alpha }_j$. 我们就构造了 $J$ 到 $\mathbb{Q}$ 的单射, 于是 $|J|\le |\mathbb{Q}|$, 即开区间的个数为至多可数.

$\square$

度量空间中的开集

定义 1.3 (度量空间中的开集). 设 $X$ 是度量空间. 集合 $U\subset X$ 称为开集, 如果它满足以下条件:

•	对任意 $x\in U$, 存在实数 $\delta >0$, 使得开球$$B_{\delta }(x)=\{x^{\prime }\in X\mid d(x,x^{\prime })<\delta \}$$包含于 $U$, 其中 $d(-,-)$ 是 $X$ 上的距离函数.

这些开集定义了 $X$ 上的一个拓扑, 称为由 $X$ 的度量所诱导的拓扑.

定义 1.1 就是取度量空间为 ${\mathbb{R}}^n$, 度量为 $d(x,y)=|x-y|$ 的情形.

拓扑空间中的开集

在拓扑空间中, 开集是拓扑空间的定义的一部分. 开集指的是一族满足以下公理的子集:

•	有限个开集的交是开集.
•	任意多个开集的并是开集.

2相关概念

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开集范畴

术语翻译

开集 • 英文 open set • 德文 offene Menge (f) • 法文 ensemble ouvert (m) • 拉丁文 copia aperta • 古希腊文 ἀνοικτὸν σύνολον (n)

开 (形容词) • 英文 open • 德文 offen • 法文 ouvert • 拉丁文 apertus • 古希腊文 ἀνοικτός