映射 (集合论)

本文介绍的是集合之间的映射. 关于一般的概念, 请参见 “映射”.

两个集合 $X,Y$ 之间的映射 $f:X\to Y$ 是给 $X$ 的每个元素 $x$ 指定一个 $Y$ 的元素 $f(x)$ 的方法, 我们说 $x$ 被 $f$ 映到 $Y$ 的元素 $f(x)$. 例如, 将自然数映到它的平方就给出了自然数集 $\mathbb{N}$ 到它自身的映射, 记为$$\begin{array}{rl}f:\mathbb{N}& ⟶\mathbb{N},\\ n& ⟼n^2.\end{array}$$

1定义

从集合论出发, 我们通过映射的图像, 来严格地定义映射的概念.

定义 1.1 (映射). 设 $X,Y$ 是集合. 从 $X$ 到 $Y$ 的映射 $f$, 记作$$f:X\to Y,$$定义为子集 $f\subset X\times Y$, 满足以下条件:

•	对任意 $x\in X$, 存在唯一的 $y\in Y$, 使得 $(x,y)\in f$.

此时, 如果 $(x,y)\in f$, 我们通常记$$f(x)=y,$$并说 $f$ 把 $x$ 映到 $y$.

这里, 集合 $X,Y$ 分别叫做 $f$ 的出发域 (或定义域) 和到达域.

2性质

(...)

术语翻译

映射 • 英文 map • 德文 Funktion (f) • 法文 application (f) • 拉丁文 adhibitio (f) • 古希腊文 ἀπεικονισμός (m)

出发域; 定义域 • 英文 source; domain • 德文 Definitionsmenge (f); Definitionsbereich (m) • 法文 source (f); domaine; ensemble de départ; ensemble de définition (m) • 拉丁文 dominium (n) • 古希腊文 σύνολον ὀρισμοῦ (n)

到达域 • 英文 target; range; codomain • 德文 Zielmenge (f); Wertevorrat (m) • 法文 but; codomaine; ensemble d’arrivée (m) • 拉丁文 codominium (n) • 古希腊文 σύνολον τιμῶν (n)