毛球定理

毛球定理是代数拓扑中的一个定理, 它说明, 对于一个长满毛的球来说, 我们不可能把它的毛梳顺, 因为必定会有至少一个旋. 有的人用这个定理来解释人的头发为什么会有旋, 尽管这种解释是不严格的, 因为一般人的脸上没有头发.

1定理和证明

定理 1.1 (毛球定理). 设 $n\ge 0$ 是偶数. 则在球面 $S^n$ 上, 不存在连续、处处非零的向量场.

证明. Poincaré–Hopf 定理表明, 如果一个流形上存在连续、处处非零的向量场, 那么它的 Euler 示性数一定是 $0$. 但 $S^n$ 的 Euler 示性数是 $1+(-1{)}^n$, 当 $n$ 为偶数时, 它等于 $2$, 矛盾.

$\square$

2相关概念

•	Poincaré–Hopf 定理
•	球面上的向量场

术语翻译

毛球定理 • 英文 hairy ball theorem