Euler 示性数

Euler 示性数是拓扑空间的一个代数不变量, 它对每个拓扑空间赋予一个整数, 以反映此拓扑空间的信息.

Euler 示性数最早起源于凸多面体的 Euler 公式 $V+F-E=2$, 其中 $V$ 表示顶点数; $F$ 表示面数, $E$ 表示边数, 这即是说球面的 Euler 示性数是 2. 作为推广, 对一般的拓扑空间, 它的 Euler 示性数定义是它的上同调维数的交错和.

Euler 示性数的概念也可类比至其它数学对象上, 例如链复形, 层, 代数簇上.

1定义

定义 1.1. 拓扑空间 $X$ 的 Euler 示性数是$$\chi (X)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1{)}^i{h}^i(X),$$其中 $h^i(X)$ 表示 $X$ 的第 $i$ 阶奇异上同调 (作为 $\mathbb{Z}$-模) 的秩 (我们假定每个 $h^i$ 均有限, 且此和为有限和).

2性质

基本性质

命题 2.1 (同伦不变性). 对弱同伦等价 $X\to Y$, 它们的 Euler 示性数相等. 特别地, Euler 示性数是拓扑空间的 (同胚意义下) 不变量.

证明. 由奇异上同调在弱同伦等价下的不变性即证.

$\square$

命题 2.2 (容斥原理). 对拓扑空间 $X$ 的子空间 $X_1,X_2$, 满足 $X_1\cup X_2=X$, 且 $(X_1,X_1\cap X_2)$ 与 $(X_2,X_1\cap X_2)$ 均为好空间对 (例如 $X$ 为 CW 复形, $X_1$, $X_2$ 为它的子复形) 则有$$\chi (X)=\chi (X_1)+\chi (X_2)-\chi (X_1\cap X_2).$$

证明. 由 Mayer–Vietoris 序列即证.

$\square$

命题 2.3 (积). 对拓扑空间 $X,Y$, 其乘积空间满足$$\chi (X\times Y)=\chi (X)\times \chi (Y).$$

证明. 由 Künneth 公式即证.

$\square$

与几何的联系

在几何中, Euler 示性数可以由一些几何量所描述. Poincaré–Hopf 定理, 陈–Gauß–Bonnet 定理即描述了这些事实.

定理 2.4 (Poincaré–Hopf). 对紧定向光滑流形 $M$ 上的向量场, 如它只有孤立零点, 则它在这些点处的指标之和为 $M$ 的 Euler 示性数.

定理 2.5 (陈–Gauß–Bonnet). 对紧定向偶数维光滑流形 $M$, 以及 $M$ 的切丛上的任意联络, 有等式$$\chi (M)={\left(\frac{-1}{2\pi }\right)}^{n/2}{\int }_M\mathrm{pf}(\Omega ).$$其中 $\Omega$ 表示曲率形式, $\mathrm{pf}$ 表示 Pfaff 型.

3例子

•	$n$ 维 Euclid 空间的 Euler 示性数为 $1$, $n$ 维球面的 Euler 示性数为 $1+(-1{)}^n$.
•	对凸多面体, 它的表面是一个同胚于球的拓扑空间, 并给出了球的一个胞腔结构因此它表面的 Euler 示性数为 $2$, 由胞腔上同调可知此值为顶点加面数减边数.
•	对平面图 $G$, 它给出了圆盘的一个胞腔结构, 因此它的 Euler 示性数为 $1$, 由胞腔上同调可知此值为顶点加面数减边数.

4类比与推广

Euler 示性数在其它数学对象, 例如链复形、层、代数簇上也可以类似地定义.

定义 4.1. 对整环 $A$ 与 $A$ 的模范畴上的链复形 $K^{\bullet }$, 它的 Euler 示性数为$$\chi (K^{\bullet })=\sum _{i\in \mathbb{Z}}(-1{)}^i{h}^i(K^{\bullet }),$$其中 $h^i$ 表示第 $i$ 阶链上同调作为 $A$-模的秩.

注 4.2. 在 $K^{\bullet }$ 取拓扑空间 $X$ 的 $\mathbb{Z}$-系数奇异 (上) 链复形时, 即化为拓扑空间 $X$ 的 Euler 示性数.

定义 4.3. 整环 $A$-模层 $\mathcal{F}$, 的 Euler 示性数为$$\chi (\mathcal{F})=\sum _{i\in \mathbb{Z}}(-1{)}^i{h}^i(\mathcal{F}),$$其中 $h^i$ 表示 $\mathcal{F}$ 的第 $i$ 阶层上同调作为 $A$-模的秩.

注 4.4. 在 $\mathcal{F}$ 取拓扑空间 $X$ 上的 $\mathbb{Z}$-常值层时, 且此空间较好 (局部可缩) 时, 即化为上述拓扑空间的 Euler 示性数.

定义 4.5. 代数簇 $X$ 的 Euler 示性数为$$\chi (X)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1{)}^i{h}^i(X)$$其中 $h^i$ 表示 $X$ 的第 $i$ 阶上同调 (取定某种上同调理论) 的维数.

5相关概念

•	Euler 类
•	Euler 公式

术语翻译

Euler 示性数 • 英文 Euler characteristic • 德文 Euler-Charakteristik (f) • 法文 caractéristique d’Euler (f)